Математический кружок Разбор

Здравствуйте, друзья.

16. Дано 6 гирь: две зеленых, две красных, две синих. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая легкая, причём все тяжелые гири весят одинаково и все легкие тоже. Можно ли за 2 взвешивания на чашечных весах найти все тяжелые гири?

Решение. Положим на одну чашу весов две красную и синюю гири, а на вторую - красную и зелёную. Если одна из чаш перевесила, то красная гиря, которая на ней лежит - тяжёлая. Тогда положим обе красных гири на одну чашу весов, а на вторую - зелёную и синюю гири, которые мы уже взвешивали. Если перевесили красные, то и синяя и зелёная - лёгкие, если перевесили синяя и зелёная, то они тяжёлые. Если весы остались в равновесии, то некрасная гиря, которая при первом взвешивании лежала на перевесившей чашке, тяжёлая, а та, что лежала на другой чашке - лёгкая.

Если же весы при первом взвешивании оказались в равновесии, то достаточно взвесить красные гири между собой. Та гиря, которая лежала на одной чаше с тяжёлой красной - лёгкая, а та, которая лежала на одной чаше с лёгкой красной - тяжёлая.

30. 98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

Решение. Если произведение чисел - нечётное число, то все числа нечётны. Сумма 19 нечётных числе нечётна, пожтому она не может равняться 98.

35. У мартышки было три кокосовых ореха. Один из них упал с 16 этажа и разбился. Может ли мартышка за 5 попыток определить, начиная с какого этажа при падении орехи будут разбиваться, если у нее осталось только два ореха?

Решение. Сначала кидаем орех с пятого этажа, если он разбивается, то последовательно проверяем этажи с первого по четвёртый: при падении с которого второй орех разбился - искомый. Если же он уцелел, то искомый этаж - пятый.

Если первый орех не разбился при падении с пятого этажа, то кидаем его с девятого (если разобьётся, то проверяем этажи с шестого по восьмой), потом - с двенадцатого (если разобьётся, проверяем девятый и десятый этажи), потом - четырнадцатого (если разобьётся, проверяем тринадцатый этаж), потом с пятнадцатого.

38. 48 спичек разложены по трем кучкам. Известно, что если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имеется, а затем из этой второй переложить в третью столько, сколько в этой третьей находится и, наконец, из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда находиться, то число спичек во всех кучках станет одинаковым. Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?

Решение. Анализ с конца. В конце в кучках по 16 спичек, за ход до этого в первой кучке 8 спичек, во второй - 16 спичек, а в третьей - 24 спички. Перед этим в первой кучке 8 спичек, во второй - 28 спичек, а в третьей - 12 спичек. И, наконец, первоначально, в первой кучке - 22 спички, во второй - 14 спичек, а в третьей - 12 спичек.

47. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Решение. Нет, нельзя. Все простые числа, кроме двойки, нечётны. Поэтому в тех столбцах где нет двойки, сумма чисел чётна (там стоит 6 нечётных чисел), а в столбце, в котором есть двойка, сумма нечётна (там пять нечётных чисел и чётная двойка).

48. Петя купил общую тетрадь из 96 листов и пронумеровал страницы числами от 1 до 192 по порядку. Хулиган Вася вырвал 25 листов и сложил 50 написанных на них чисел. Мог ли он в сумме получить число 2000?

Решение. Нет, не мог. Сумма номеров страниц, расположенных на одном листе нечётна, всего листов нечётное число, поэтому сумма всех номеров должна быть нечётна.

49. Имеется таблица 1999 x 2001. Известно, что сумма чисел в любой строке нечётна. Докажите, что найдется столбец, сумма чисел в котором тоже нечётна.

Решение. Если это не так, то сумма чисел в каждом столбце чётна. Тогда если сложить суммы чисел в столбцах, получается нечётное число. Но если сложить суммы чисел в строках, получается чётное число.