Математический кружок Занятие 13. Счастливый разнобой

Здравствуйте, друзья.

Сегодня у нас тринадцатое занятие, которое называется

Счастливый разнобой.

Задача 125. На острове всего два города. В одном из них живут рыцари, которые всегда говорят правду, а в другом -- лжецы, которые всегда обманывают. Встретились три человека A, B и C. A говорит, что B лжец. B говорит, что A и C из разных городов, C говорит, что A -- рыцарь. Кто есть кто?

Задача 126. Хулиган Вася в наказание получил на дом пример: вычислить 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 99 x 100. Потратив ночь, Вася вычислил и получил 20012001. Докажите, что он ошибся.

Задача 127. Сколько имеется на шахматной доске всевозможных прямоугольников, состоящих из четырех клеток?

а) Есть три квадрата. Разрежьте первый из них на 6, второй -- на 7, третий -- на 8 квадратов.

б) Докажите, что квадрат можно разрезать на любое количество квадратов, большее пяти.

Задача 128. В Цветочном городе 2000 жителей. При встрече двоих жителей один отдаёт другому 2 монеты по 5 рублей, а другой первому -- 1 монету в 10 рублей. В конце недели каждый подсчитал, что он отдал 100 монет. Могло ли так быть?

Задача 129. Маленький зелёненький тиранозаврик Рекс и головастик играют в следующую игру: за один ход игрок может съесть от 1 до 6 кактусов на свой выбор. Выигрывает тот, кто съедает последний. Кто из них обязательно победит при правильной игре, если в начале было a) 40 кактусов; b) 35 кактусов. Начинает головастик.

Задача 130. Замените звёздочки цифрами так, чтобы получилось верное решение примера на умножение
а)

б)
.

Задача 131. В клеточки коврика впишите цифры так, чтобы равенства были верны.