Математический кружок Ещё разбор

Здравствуйте, друзья.

50. На доске написаны числа от 1 до 2001. Разрешается производить следующую операцию: стереть два соседних числа и на их месте записать их разность. Может ли на доске остаться один 0?

Решение. Нет, не может. Изначально на доске нечётное число нечётных чисел (501). При разрешённых операциях количество нечётных чисел может уменьшиться на два (если вычитают из нечётного числа нечётное) или не измениться (во всех остальных случаях). Поэтому нечётных чисел на доске всегда нечётное количество, а в конце остаётся только одно чётное число.

51. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш - за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, носить друг друга на руках нельзя).

Решение. Вот один из возмодных вариантов. Сначала папа с мамой за 2 минуты переходят мост, затем папа за 1 минуту возвращается с фонариком, затем бабушка и малыш за 10 минут пересекают мост, мама за 2 минуты относит папе фонарик и они вместе за 2 минуты в последний раз пересекают реку.

52. Среди 5 деталей 4 стандартных, одинаковой массы, одна бракованная, отличающаяся по массе от остальных. Имеется еще одна отмеченная деталь (эталон). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах найти бракованную деталь?

Решение. Пронумеруем детали от 1 до 6, причём номером 6 пометим эталон. При первом взвешивании на одну чашу весов кладём детали 1 и 2, а на вторую -- 3 и 6. Если весы оказались в равновесии, то, взвесив монету 4 с эталоном, выясним, какая деталь фальшивая -4 или 5. Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, детали 4 и 5 настоящие, и фальшива деталь находится среди деталей 1, 2 и 3. Положим на одну чашу детали 1 и 3, а на другую -- две настоящие детали (например, 6 и 5). Та из деталей 1 и 3, чаша с которой оба раза повела себя одинакова, фальшивая. Если же при втором взвешивании весы оказались в равновесии, то фальшива деталь 2.

53. В ряд стоят лжецы и рыцари. 7 человек на вопрос: "Верно ли, что все люди справа от Вас - рыцари, а слева - лжецы" ответили "да", а остальные - "нет". Сколько в ряду могло стоять лжецов?

Решение. Ответ: 7. Утверждение, что все люди справа - рыцари, а слева - лжецы, верно хоть для кого-то только если все рыцари стоят справа от всех лжецов, а именно, оно тогда истинно для самого левого рыцаря (который скажет "да") и самого правого лжеца (который скажет "нет"). Остальные шесть "да" сказаны лжецами, и только ими, значит всего есть семь лжецов. Если же люди стоят по другому, то утверждение ложно для всех и "да" сказали семь лжецов, потому и в этом случае ответ 7.

54. Трое жильцов готовят обед на одной печи. Жилица - назовем ее для удобства Тройкиной - положила в общую печь 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 рублей. Как должны они поделить между собой эту плату?

Решение. За свою треть Бестопливный заплатил 8 рублей, значит естественно считать, что истраченные 8 поленьев стоили 3 x 8 = 24 рубля, а одно полено, стало быть 24 : 8 = 3 рублей. Тройкина и Пятёркина внесли свою долю поленьями: Тройкина - 3 x 3nbsp;=nbsp;9 рублей, а Пятёркина - 5 x 3 = 15 рублей. Потому Тройкина должна получить 9 - 8 = 1 рубль, а Пятёркина - 15 - 8 = 7 рублей.