Математический кружок Занятие 17. И снова игры

Здравствуйте, друзья.

Разбор

Задача 142. (Уменьшение на делитель)

Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

Заметим, что из нечётного числа указанной операцией можно получить только чётное, ведь все нечётого числа могут быть лишь нечётные делители. С другой стороны, из нечётного числа всегда можно получить чётное (например, вычитая единицу). Эти наблюдения позволяют считать нечётные числа выигрышными позициями.

То есть первый игрок может действовать так, чтобы после его хода всё время оставалось нечётное число. Тогда его соперник будет вынужден получать чётные числа, из которых первый опять будет делать нечётные. Число 0 чётное, поэтому получит его именно второй.

Задача 143. (Уменьшение на цифру)

На доске написано некоторое натуральное число с ненулевой последней цифрой. Ход состоит в том, что из числа вычитают какую-нибудь его ненулевую цифру и пишут результат вместо старого числа. Выигрывает тот, кто первым получит нуль.

Задача 144. (Две кучки-1)

Имеется две кучи конфет: в первой - 40, во второй - 45. За ход нужно одну кучу съесть, а другую разделить на две (не обязательно равные). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Задача 145. (Две кучки-2)

Имеется две кучи конфет: в первой - 100, во второй - 201. За ход разрешается съесть из одной кучки любое число конфет, являющееся делителем количества конфет в другой кучке. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету.

Задача 147.

На доске 9 x 9 на каждой клетке одной из главных диагоналей cтоит по шашке. Два игрока, делая ходы по очереди, играют в следующую игру. За один ход игрок сдвигает одну из шашек на одну клетку в фиксированном направлении (вниз). Если при этом шашка сходит с доски, игрок забирает ее себе в карман. Какое наибольшее количество шашек может забрать себе в карман первый игрок независимо от игры второго?

Задача 148.

           _______________П_________________
          |                                 |
      ____П__ ___________            _______П__ ___ _____
     |       |           |          |          |   |     |
    _П__     -4    ____ _П___      _П_ ___     3  _П__   П
   |    |         |    |     |    |   |   |      |    |  |
   П    -5  ___ __П_   2    _П__  2   -4  П      2    П  3
   |       |   |    |      |    |         |           |
   1       3   10   -2     4    -5        3           0

В начале игры фишка стоит на верхней позиции П. Игроки по очереди передвигают ее на одну позицию вниз по линиям. Игра заканчивается, когда фишка попадает на число. После этого второй выплачивает первому столько тугриков, каково это число (если перед числом стоит минус'', то на самом деле выплачивает первый второму). Сколько тугриков будет выплачено при наилучшей игре сторон, и какой игрок их получит?

Новые задачи

Задача 152. Имеется 40 конфет. Двое по очереди едят от 1 до 6 из них. Тот, кто съел последнюю, проигрывает.

Задача 153. В чашке сидит 105 микробов. За ход разрешается вытащить 2, 3 или 5 микробов. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Задача 154. Конь стоит на поле a1. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две клетки вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 155. В кучке $n$ спичек. За ход нужно взять от 1 до 3 спичек, но не столько, сколько только что взял противник. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре сторон а) при n=12 б) при n=13?

Задача 156. В куче - n спичек, из них 3 - обломанные, остальные - целые. За ход можно взять 1, 2 или 3 спички, но обломанные можно брать только когда кончились целые. Тот, кому досталось меньше обломанных спичек, выплачивает разницу в их числе другому. Кто победит и с каким счетом а) при n=13; б) при n=14?

Задача 157. Имеется две кучи по семь апельсинов. За ход разрешается съесть один апельсин из любой кучки или по одному апельсину из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Задача 158. Король стоит на поле a1. За один ход разрешается сдвинуть его на одну клетку вверх, одну клетку вправо или одну клетку по диагонали вправо-вверх. Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

Задача 159. В трёх кучках лежит по 7 камней. За ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает взявший последний камень. а) Кто выигрывает в этой игре, если в нее играют 2 человека? б) Докажите, что если в эту игру играют трое, то двое из них могут сговориться и обыграть третьего.

Задача 160. В коробке лежат 300 спичек. За ход можно взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Задача 161. На столе лежат 9 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Двое по очереди откладывают в сторону по одной карточке. Проигрывает тот, после хода которого сумма чисел на отложенных карточках станет больше 25.