Математический кружок Игры-2

Здравствуйте, друзья.

Решения

Задача 132. (Две кучки по 100) Второму игроку достаточно повторять ходы первого, но только в другой кучке. Таким образом, только после ходов второго в количество предметов в кучках становится равным, следовательно, ситуация, когда в обеих кучках не останется ни одного предмета, также может наступить только после хода второго, а, значит, он не проиграет. Поскольку с каждым ходом количество предметов в кучках уменьшается, игра закончится, и так как второй не проиграет - он выиграет.

Задача 133. (Три кучки по 100) Забирая все предметы из одной кучки, первый сводит игру к игре две кучки по 100'', в которой он играет уже вторым.

Задача 134. (Миллионеры) Выигрывает первый. Первый ход - положить пятак в центр стола, а дальше достаточно ходить симметрично относительно центра.

Задача 135. (Шоколадка-2) Всюду выигрывает второй, разделив шоколадку на две равных, и далее действуя симметрично. В пункте в) надо играть симметрично до предпоследнего момента, то есть в тот момент, когда появилась возможность отломить шоколадку 1 x 1, надо это сделать.

Задача 136. (Слоны на доске) Выигрывает второй. Симметрия относительно вертикальной оси или относительно центра.

Задача 137. (Любит - не любит) В обоих случаях выигрывает второй. Своим первым ходом он разбивает лепестки на две одинаковых группы, а дальше действует симметрично. В а) проходит и центрально-симметричная стратегия.

Задача 138. (Выкладывание доминошек) Выигрывает второй, стратегия - вновь центральная симметрия.

Задача 139. (Снятие шашек) В а) выигрывает первый. Например, первым ходом он снимает центральную шашку и дальше действовует центральносимметрично. В б) первым ходом нужно снять всю центральную (шестую) вертикаль, а дальше действовать осесимметрично. (Эта же стратегия проходит и в задаче а)). И, наконец, в в) можно сразу действовать центральносимметрично, поэтому выигрывает второй.

Задача 140. (Щёлк) Выигрывает первый. Он должен первым ходом съесть квадрат 7 x 7, а затем действовать симметрично.

Задача 141. (Король-турист) К сожалению, эта задача оказалась сформулирована не очень удачно. Имелось в виду следующее:

Двое играют в следующую игру: первый выбирает любое поле на доске 8 x 8, ставит туда короля и делает ход (король может ходить в соседние и соседние по диагонали клетки). После этого ходит второй игрок, затем первый и так далее. Запрещается ходить на клетку, на которой король уже был. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Новые задачи

Задача 142. (Уменьшение на делитель) Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

Задача 143. (Уменьшение на цифру) Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано некоторое натуральное число с ненулевой последней цифрой. Ход состоит в том, что из числа вычитают какую-нибудь его ненулевую цифру и пишут результат вместо старого числа. Выигрывает тот, кто первым получит нуль.

Задача 144. (Две кучки-1) Имеется две кучи конфет: в первой - 40, во второй - 45. За ход нужно одну кучу съесть, а другую разделить на две (не обязательно равные). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Задача 145. (Две кучки-2) Имеется две кучи конфет: в первой - 100, во второй - 201. За ход разрешается съесть из одной кучки любое число конфет, являющееся делителем количества конфет в другой кучке. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету.

Задача 146. (Игра Баше - 1, 3, или 4) Имеется полоска клетчатой бумаги длиной а) 10; б) 15 клеток. В крайней правой ее клетке стоит шашка. Двое играющих по очереди передвигают ее влево на одну, три, или четыре клетки. Проигрывает тот, кому некуда ходить.

Задача 147. На доске 9 x 9 на каждой клетке одной из диагоналей cтоит по шашке. Два игрока, делая ходы по очереди, играют в следующую игру. За один ход игрок сдвигает одну из шашек на одну клетку в фиксированном направлении (вниз). Если при этом шашка сходит с доски, игрок забирает ее себе в карман. Какое наибольшее количество шашек может забрать себе в карман первый игрок независимо от игры второго?

Задача 148.

           _______________П_________________
          |                                 |
      ____П__ ___________            _______П__ ___ _____
     |       |           |          |          |   |     |
    _П__     -4    ____ _П___      _П_ ___     3  _П__   П
   |    |         |    |     |    |   |   |      |    |  |
   П    -5  ___ __П_   2    _П__  2   -4  П      2    П  3
   |       |   |    |      |    |         |           |
   1       3   10   -2     4    -5        3           0