Вопрос № 41743: Здрвствуйте уважаемые эксперты, у меня такая проблема: весь инет облазил, не могу найти примеры решения геометрических задач по дифурам, помогите решить следующую задачу : найти кривую, чтобы ПОДкасательня была рана среднему арифметическому координат...
Вопрос № 41.743
Здрвствуйте уважаемые эксперты, у меня такая проблема: весь инет облазил, не могу найти примеры решения геометрических задач по дифурам, помогите решить следующую задачу : найти кривую, чтобы ПОДкасательня была рана среднему арифметическому координат точки касания
заранее благодарен [PROnet] * >St@cK< ! N.Nov
Отвечает: Полховский Александр Владимирович
Здравствуйте, [PROnet] * >St@cK< ! N.Nov!
Так. геометрическую часть я решил. Дошёл до дифура, тут у меня ступор...
За основу взята система четырёх уравнений:
Обозначим абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ как x0. 1. Уравнение прямой (касательной) в общем виде: y=kx+b 2. То же уравнение, но применительно к точке пересечения с осью ОХ: 0=kx0+b 3. Основное условие хадачи (ПОДкасательня была рана среднему арифметическому координат точки касания): x-x0=(y+x)/2 4. Определение производной функции в общем случае (производная - тангенс угла наклона касательной; k - тот самый тангенс): k=y'
Теперь напишу решение данной системы (если будете переписывать, то всё время несите за собой систему, я не буду этого делать для экономии места и лучшего понимания):
{kx+b=y;
{kx0+b=0;
{x-x0=(y+x)/2;
{k=y';
x0=(x-y)/2; (из уравнения 3) Подставляем в уравнение 2:
k(x-y)/2+b=0; Вычитаем полученное из уравнения 1:
k(x+y)/2-y=0; "Вытаскиваем" коэффициент k из полученного уравнения:
k=2y/(x+y); Подставляем полученное в уравнение 4: 2y/(x+y)=y';
Дальше нужно решить найденное дифференциальное.
Если что не так - по лицу не бить.
--------- Спасём нашу хрупкую планету !
Ответ отправил: Полховский Александр Владимирович (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 02.05.2006, 00:53 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Ой , СПАСИБО Вам БОЛЬШОЕ, а то у меня уже ваще мозги пухнут с этими дифурами, на данном примере хоть немного стал понимать геометрические задчи. P.S. а диф ур там простойц : 2у/(х+у)=dy/dx (x+y)dy-2ydx=0 x=ty dx=tdt (ty+y)dy-2tydt=0 y(t+1)dy-2tydt=0|:(t+1)y dy-2t/(t+1)dt=0 дальше проинтегрировать. и всё
Отвечает: Кучумов Евгений Владимирович
Здравствуйте, [PROnet] * >St@cK
< ! N.Nov!
Да Вы что?!!! Дифуры - это же очень ВКУСНО!!!
А решение простое как две копейки! Очевидно, что это должно быть до боли знакомое геометрическое место точек!
Зацените:
Уравнение касательной (по Лагранжу) - dy/dx=(y+y0)/(x+x0). Далее - ПОДкасательная есть не что иное как проекция касательной (берётся её часть от точки пересечения с осью абсцисс до точки касания), т.е. как раз и есть (x-x0). Т.о. (x-x0)=((y-y0)+(x-x0))/2 и разрешая это равенство относительно (x-x0) получим, что (x-x0)=(y-y0). Итак получаем, что уравнение касательной: dy/dx=1 и, интегрируя, наконец получаем: y(x)=x+C0. В частности можете положить С0=0,тогда y(x)=x. Можете сами проверить, что подкасательная у
этой "кривой" действительно равна среднеарифметическому от координат точки касания. :)
Хотя сперва мне пришла в голову идея заменить просто (x-x0) на ((y-y0)+(x-x0))/2. Для простоты можно положить, что данная кривая проходит через начала координат. Тогда y0=0 и x0=0, что несколько упростит выкладки. Тогда имеем дифур: dy/dx=2*y/(x+y) и делая замену y=z*x и dy/dx=x*dz/dx+z приходим к уравнению с разделяющимися переменными: x*dz/dx+z=2*z/(1+z) -> (1+z)*dz/(z*(1-z))=dx/x -> dz/z+2*dz/(1-z)=dx/x -> ln(z)+ln(1/(1-z)^2)=ln(x)+ln(C0) -> y=C0*(x-y)^2. Итак, можно данное уравнение разрешить
относительно x(y): x(y)=y+(y/C0)^0.5. График этой функции довольно интересен, но мне решение не понравилось. Некрасивое. Поэтому я продолжил поиски и нашёл более подходящее решение, которое представлено в начале. :)
--------- Sapienti set
Ответ отправил: Кучумов Евгений Владимирович (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 02.05.2006, 23:34 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Эх ... вот если бы ещё Я так на зачёте или экзамене ответил ... :) было бы вообще прекрасно ... )))
