Вопрос № 43487: Всем доброго дня.
Недавно на лекции возник вопрос про гладкость функций. В качестве примера нигде не гладкой функции я привёл следующее выражение:
f(x)=Sum(2^(-n)*sin(2^n*x), n=0..inf)
Как видно, функция периодическая (с пе...
Вопрос № 43.487
Всем доброго дня.
Недавно на лекции возник вопрос про гладкость функций. В качестве примера нигде не гладкой функции я привёл следующее выражение:
f(x)=Sum(2^(-n)*sin(2^n*x), n=0..inf)
Как видно, функция периодическая (с периодом 2pi) и экстремум у неё имеется (так как фукнция ограниченая сверху).
Но где же он?
Я просто в качестве упражнения нашёл точку экстремума на машине с большой точностью.
Исключительно по наитию я решил поделить полученное число на pi, и выяснил, что экстремум, оказывается, достигается в точке q*pi, где q - некоторое несложное рациональное число (желающие пусть найдут его сами, это любопытно). Конечно, численный эксперимент ничего не доказывает, так что это только гипотеза.
Этот факт меня очень удивил. Я ожидал увидеть просто некоторое иррациональное число, неясно чему равное, а q*pi означает, что экстремум можно найти аналитически.
Как это сделать? Я пока не смог. Добавлю только, что вычислить значение функции в точке q*pi несложно.
Отвечает: Tigran K. Kalaidjian
Здравствуйте, Шинтяков Дмитрий Васильевич / Ratson!
Интересная задача! Только, наверное, всё таки, имеется ввиду наибольшее значение на периоде, а не экстремум. Я не смог доказать Ваше предположение, но всё же еще подумаю и расскажу своим однокурсникам - пусть поломают голову. Не могли бы Вы написать в мини-форуме, почему Вы думаете, что q рационально? Мои расчеты не дали никакой "зацепки".
Похоже, что наибольшее значение на периоде для каждой частичной суммы ряда действительно достигается в точках q*pi, что связано со свойствами синуса, но совсем не очевидно, что это свойство остается при предельном переходе. В любом случае, я еще подумаю над этим.
Да и еще: в качестве нигде не дифференцируемой непрерывной функции лучше взять f(x)=Sum((0.9)^(-n)*(...)) - так очевиднее и так предлагает Вейерштрасс =)
--------- aqua nostra ignis est
Ответ отправил: Tigran K. Kalaidjian (статус: Профессионал) Армения, Ереван Организация: Физический факультет МГУ WWW:Персональная страница ---- Ответ отправлен: 22.05.2006, 22:52
