Все выпуски  

RusFAQ.ru: Математика


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 139
от 12.06.2006, 23:05

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 111, Экспертов: 34
В номере:Вопросов: 8, Ответов: 8


Вопрос № 45515: Найти угол между градиентами скалярных полей u(x;y;z) и v(x;y;z) в точке M v=(6/x)+(2/y)-((3*sqrt(3))/(2*sqrt(2)*z)) M(sqrt(2);sqrt(2);sqrt(2)/2)...
Вопрос № 45516: Найти векторные линии в векторном поле a a=yj+4zk...
Вопрос № 45525: Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (наружная нормаль к замкнутой поверхности, которая создана данными поверхностями). a=x*y*z*i-(x^2)*z*j+3k; S: (x^2)+(y^2)=(z^2) (z>=0); P: z=2...
Вопрос № 45527: Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (нормаль образует острый угол с осью OZ). a=x*i+y*j+z*k; P: (2*x)+(y/2)+z=1...
Вопрос № 45540: Найти поток векторного поля а через часть площади P, которая лежит в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ). a=PI*y*j+(1-2*z)*k; P: (x/4)+(y/3)+z=1...
Вопрос № 45542: Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная) a=((e^2)+2*x)i+(xz-y)j+(1/4)((e^xy)-z)k; S: (x^2)+(y^2)+(z^2)=3y+3...
Вопрос № 45543: Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная) a=y*i+5*y*j+z*k; S: (система) [(x^2)+(y^2)=1] и [z=x, z=0(z>=0)]...
Вопрос № 45549: Найти поток векторного поля а всквозь замкнутую поверхность S (нормаль внешняя) a=(x^2)i+(y^2)j+2zk S: (система) [(x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2]...

Вопрос № 45.515
Найти угол между градиентами скалярных полей u(x;y;z) и v(x;y;z) в точке M

v=(6/x)+(2/y)-((3*sqrt(3))/(2*sqrt(2)*z))

M(sqrt(2);sqrt(2);sqrt(2)/2)
Отправлен: 07.06.2006, 14:03
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
cos(a)=(grad(u),grad(v))/(|grad(u)|*|grad(v)|)
v=(6/x)+(2/y)-((3*sqrt(3))/(2*sqrt(2)*z))
grad(u)=(du/dx,du/dy,du/dz), grad(v)=(dv/dx,dv/dy,dv/dz)
du/dx=-2*(z^3)*(y^2)/(x^3)
du/dy=2*(z^3)*y/(x^2)
du/dz=3*(z^2)*(y^2)/(x^2)
dv/dx=-6/(x^2)
dv/dy=-2/(y^2)
dv/dz=3*sqrt(3)/(2*sqrt(2)*(z^2))
(grad(u),grad(v))=[-2*(z^3)*(y^2)/(x^3)]*[-6/(x^2)]+[2*(z^3)*y/(x^2)]*[2/(y^2)]+[3*(z^2)*(y^2)/(x^2)]*[3*sqrt(3)/(2*sqrt(2)*(z^2))]=
12*(z^3)*(y^2)/(x^5)-4*(z^3)/((x^2)*y)+9*sqrt(3)*(y^2)/(2*sqrt(2)*(x^2))
подставим в полученное выражение значение в т. М, получим
(grad(u),grad(v))(M)=(9*sqrt(6)+1)/4

|grad(u)|=sqrt[((du/dx)^2)+((du/dz)^2)+((du/dz)^2)]
|grad(u)|(M)=sqrt[1/4+1/4+9/4]=sqrt(11)/2
|grad(v)|=sqrt[((dv/dx)^2)+((dv/dz)^2)+((dv/dz)^2)]
|grad(v)|(M)=sqrt[9+1+27/4]=sqrt(67)/2

cos(a)=[(9*sqrt(6)+1)/4]/[(sqrt(11)/2)*(sqrt(67)/2)]=(9*sqrt(6)+1)/(sqrt(11)*sqrt(67))

Ответ: cos(a)=(9*sqrt(6)+1)/(sqrt(11)*sqrt(67))
Странный, однако, ответ. Обычно даются задачи с красивыми ответами. Может я где ошибся.
Общую формулу для нахождения я написал. Попробуй проверить ещё раз сам, на всякий случай.

Удачи!
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 15:13
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.516
Найти векторные линии в векторном поле a

a=yj+4zk
Отправлен: 07.06.2006, 14:09
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Запишем дифференциальные уравнения векторных линий поля a
dx/0=dy/y=dz/(4z)
получаем следующую систему
dx=0 => x=C0
dy/y=dz/(4z) => 4ln(y)=ln(z)+ln(C) => y^4=z*C
т.о. получаем
x=C0
y^4=z*C - это семейство парабол находящиеся в плоскости x=C0
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 14:35
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.525
Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (наружная нормаль к замкнутой поверхности, которая создана данными поверхностями).

a=x*y*z*i-(x^2)*z*j+3k;
S: (x^2)+(y^2)=(z^2) (z>=0);
P: z=2
Отправлен: 07.06.2006, 15:27
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Прежде всего заметим, что интересующая нас поверхность это конус, проходящий через начала координат, с осью симметрии - ось z, пересеченная поверхностью z=2, образуя основание конуса в виде окружности
Нормаль к этой поверхности n=(0,0,1)
т.о. (a,n)=(x*y*z)*0-(x^2)*z*0+3k;
П=двойной интеграл по S от (a,n)dS=двойной интеграл по поверхности (x^2+y^2<=2) от 3dS=3*(площадь окружности x^2+y^2<=2)=6*PI
Ответ: П=6*PI
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 16:45
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.527
Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (нормаль образует острый угол с осью OZ).

a=x*i+y*j+z*k;
P: (2*x)+(y/2)+z=1
Отправлен: 07.06.2006, 15:32
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Плоскость (2*x)+(y/2)+z-1=0 имеет нормаль n=(2,1/2,1) (образует острый угол с осью OZ)
|n|=sqrt(4+1/4+1)=3*sqrt(2)/2
cos(alpha)=2/|n|=4/(3*sqrt(2))
cos(betta)=(1/2)/|n|=1/(3*sqrt(2))
cos(gamma)=1/|n|=2/(3*sqrt(2))
перепишем уравнение плоскости в виде z=1-2*x-y/2
dz/dx=-2; dz/dy=-1/2
найдём элемент поверхности
dS=sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=sqrt(1+4+1/4)dxdy(=3*sqrt(2)/2)dxdy

Поток векторного поля а через площадь S вычисляется по формуле
П=поверхностный интеграл по S от (a,n)dS=пов. инт. по S от (ax*cos(alpha)+ay*cos(betta)+az*cos(gamma))sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=
(заменяем z на 1-2*x-y/2)=
пов. инт. по S от (x*4/(3*sqrt(2))+y/(3*sqrt(2))+(1-2*x-y/2)*2/(3*sqrt(2)))*3*sqrt(2)/2)dxdy
теперь найдём пределы интегрирования по x,y
поочередно подставляем значения (x=0,y=0), (x=0,z=0), (y=0,z=0) в уравнение плоскости, находим точки пересечения плоскости с осями координат - (0,0,1), (1/2,0,0), (0,2,0)
получаем что x принимает значения от 0 до 1/2, y принимает значения от 0 до 2
окончательно получаем
П=интеграл по x (0,1/2) интеграл по y (0,2) от (x*4/(3*sqrt(2))+y/(3*sqrt(2))+(1-2*x-y/2)*2/(3*sqrt(2)))*3*sqrt(2)/2)dxdy=
интеграл по x (0,1/2) интеграл по y (0,2) от (2/(3*sqrt(2)))*3*sqrt(2)/2)dxdy=интеграл по x (0,1/2) интеграл по y (0,2) от dxdy=(1/2-0)*(2-0)=1
Ответ: П=1
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 17:49
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.540
Найти поток векторного поля а через часть площади P, которая лежит в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).

a=PI*y*j+(1-2*z)*k;
P: (x/4)+(y/3)+z=1
Отправлен: 07.06.2006, 18:38
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Плоскость (x/4)+(y/3)+z=1 имеет нормаль n=(1/4,1/3,1) (образует острый угол с осью OZ)
|n|=sqrt(1/16+1/9+1)=13/12
cos(alpha)=(1/4)/|n|=3/13
cos(betta)=(1/3)/|n|=4/13
cos(gamma)=1/|n|=12/13
перепишем уравнение плоскости в виде z=1-(x/4)-(y/3)
dz/dx=-1/4; dz/dy=-1/3
найдём элемент поверхности
dS=sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=sqrt(1+1/16+1/9)dxdy=(13/12)dxdy

Поток векторного поля а через площадь S вычисляется по формуле
П=поверхностный интеграл по S от (a,n)dS=пов. инт. по S от (ax*cos(alpha)+ay*cos(betta)+az*cos(gamma))sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=
(заменяем z на 1-(x/4)-(y/3))=
пов. инт. по S от (0*3/13+PI*y*4/13+(1-2*(1-(x/4)-(y/3))*12/13)*(13/12)dxdy
теперь найдём пределы интегрирования по x,y
поочередно подставляем значения (x=0,y=0), (x=0,z=0), (y=0,z=0) в уравнение плоскости, находим точки пересечения плоскости с осями координат - (0,0,1), (4,0,0), (0,3,0)
получаем что x принимает значения от 0 до 4, y принимает значения от 0 до 3
окончательно получаем
П=интеграл по x (0,4) интеграл по y (0,3) от (0*3/13+PI*y*4/13+(1-2*(1-(x/4)-(y/3))*12/13)*(13/12)dxdy
Дальше попробуй сам.
Задача аналогична предыдущей.

Удачи!
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 19:00
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.542
Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная)

a=((e^2)+2*x)i+(xz-y)j+(1/4)((e^xy)-z)k;
S: (x^2)+(y^2)+(z^2)=3y+3
Отправлен: 07.06.2006, 18:43
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Не могу я больше набирать здесь формулы :)

Решение можете забрать здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/45542.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 14:24
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.543
Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная)

a=y*i+5*y*j+z*k;
S: (система) [(x^2)+(y^2)=1] и [z=x, z=0(z>=0)]
Отправлен: 07.06.2006, 18:46
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Советую решить эту задачу по аналогии с предыдущими. если не получится, решение можно найти здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/45543.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 14:20
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 45.549
Найти поток векторного поля а всквозь замкнутую поверхность S (нормаль внешняя)

a=(x^2)i+(y^2)j+2zk
S: (система) [(x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2]
Отправлен: 07.06.2006, 19:06
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Похоже, идёт сезон на векторный анализ.
Предыдущие две задачи автора были очень похожи, но эту задачу придётся решать воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского (т.к. требуется найти поток через всю замкнутую поверхность)
П=тройной интеграл по объёму цилиндра ((x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2) от div(a) dxdydz
div(a)=da/dx+da/dy+da/dz=2*x+2*y+2
т.о. П=интеграл по ((x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2) от 2*(x+y+1)dxdydz=(делаем замену x=r*cos(phi); y=r*sin(phi))
интеграл по z от 0 до 2 от интеграла по r от 0 до 1/2 от интеграла по phi от 0 до 2*PI от (2*(r*cos(phi)+r*sin(phi)+1))d(phi) rdr dz
далее, разбиваем интеграл на 3 слагаемых, интегрируем и получаем ответ.

PS эти и другие примеры решения задач анализа, можно найти, например, здесь http://dvoika.net/education/kuznecov/index7.shtml
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 01:16
Оценка за ответ: 5


Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!

Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.


© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А.
Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.34 от 01.06.2006
Яндекс Rambler's Top100

В избранное