/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 151
от 27.06.2006, 16:05

Вопрос № 46.935

Вычислить определенные интегралы. ∫(((x^2)+6x+9)sin2x)dx от -3 к 0

Отправлен: 21.06.2006, 15:52 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Mr Jackal! ∫(((x^2)+6x+9)sin2x)dx=(-1/2)∫(((x^2)+6x+9)dcos(2x)= (-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/2)∫(2*x+6)cos(2x)dx= (-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/4)∫(2*x+6)dsin(2x)= (-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/4)(2*x+6)sin(2x)+(-1/4)∫sin(2x)dx= (-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/4)(2*x+6)sin(2x)+(1/8)*cos(2x) [-3;0]= (-1/2)(9)*1+(1/8)-[(-1/2)((9-18+9)cos(-6)-(-1/4)(-6+6)sin(-6)+(1/8)*cos(-6)]= -9/2+1/8-1/8*cos(-6) Вроде, со знаками - порядок Удачи!

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:07 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.936

Найти неопределенные интегралы ∫(((x^2)+1)/(((x^3)+3x+1)^5)dx

Отправлен: 21.06.2006, 15:55 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! ∫(((x^2)+1)/(((x^3)+3x+1)^5)dx={заносим под знак дифферинциала (x^2)+1}= =(1/3)∫d(x^3+3x+1)/(x^3+3x+1)^5={t=x^3+3x+1}=(1/3)∫dt/t=(1/3)*(-1/(4*t^4))=(1/3)*(-1/(4*(x^3+3x+1)^4)) --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:05 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.937

Вычислить определенные интегралы ∫dx/(x*sqrt((x^2)-1)) от sqrt(3) до sqrt(8)

Отправлен: 21.06.2006, 15:58 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Mr Jackal! ∫dx/(x*sqrt((x^2)-1))=[t=sqrt((x^2)-1); dt=xdx/sqrt(x^2-1)]= ∫dt/(1+t^2)=artcg(t)=arctg(sqrt((x^2)-1)) integral=arctg(sqrt(8-1))-arctg(sqrt(3-1))=arctg(sqrt(7))-arctg(sqrt(2))

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:23 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Mr Jackal! пусть p=sqrt((x^2)-1),dx=2x/(sqrt((x^2)-1)), x^2=p^2+1, при х=sqrt(3), р=при х=sqrt(8), р=sqrt(7), ∫dx/(x*sqrt((x^2)-1)) = ∫dp/(2(p^2+1))=1/2arctgp от sqrt(2) до sqrt(7)= 1/2(arctg(sqrt(7))- arctg(sqrt(2))

Ответ отправила: Dayana (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:26 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.939

Найти неопределеные интегралы. ∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx

Отправлен: 21.06.2006, 16:01 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Mr Jackal! ((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))=2*(x^3)+4*x^2+3/(x^2-2*x) 3/(x^2-2*x)=A/x+B/(x-2) 3=A*(x-2)+B*x A+B=0 -2*A=3 A=-3/2 B=3/2 3/(x^2-2*x)=(-3/2)*(x-2)+(3/2)*x ∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx=∫(2*(x^3)+4*x^2+(-3/2)*(x-2)+(3/2)*x)dx= (1/2)*x^4+(4/3)*x^3+(-3/2)ln(x-2)+(3/2)ln(x)= (1/2)*x^4+(4/3)*x^3+(3/2)ln(x/(x-2))

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:32 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! I=∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx=2∫(x^4/(x-2))dx-8∫(x^2/(x-2))dx+3∫dx/(x^2-2x) Обозначим полученные интегралы соответственно через I1, I2, I3: I1=2∫(x^4/(x-2))dx; I2=-8∫(x^2/(x-2))dx; I3=3∫dx/(x^2-2x); I1=2∫(x^4/(x-2))dx=2∫(((x^4)-16+16)/(x-2))dx=2∫(x^3+2x^2+4x+8)dx+2∫16*dx/(x-2)=2*((x^4)/4+(2/3)*x^3+2x^2+8x)+32*ln(x-2); I2=-8∫(x^2/(x-2))dx=-8∫(((x^2)-4+4)/(x-2))dx=-8∫(x+2)dx-8∫4*dx/(x-2)=-8*((x^2)/2+2x)-32*ln(x-2); I3=3∫dx/(x^2-2x)={разобьем дробь 1/(x^2-2x) на простейшие}; 1/(x^2-2x)=A/x+B/(x-2)=((A+B)x-2A)/(x^2-2x) Получаем систему: A+B=0; -2A=1 A=-1/2; B=1/2, следовательно I3=3∫dx/(x^2-2x)=3*(-1/2)∫(dx/x)+3*(1/2)∫dx/(x-2)=(-3/2)*ln(x)+(3/2)*ln(x-2); Итог: I=I1+I2+I3={после упрощения}=(1/2)*x^4+(4/3)*x^3-(3/2)*ln(x)+(3/2)*ln(x-2) --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:49 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.941

Найти неопределенные интегралы ∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx

Отправлен: 21.06.2006, 16:32 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Mr Jackal! ∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx=∫2/(х+2)dx+∫1/(x+1)^3dx=2ln(x+1)+1/(x+1)^2 +c

Ответ отправила: Dayana (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:42 Оценка за ответ: 3

Отвечает: gitter Здравствуйте, Mr Jackal! Небольшая ошибка в предыдущем ответе ∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx=∫2/(х+2)dx+∫1/(x+1)^3dx=2ln(x+2)+(-1/2)/(x+1)^2 +C

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 17:12 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.942

Найти неопределеный интеграл ∫(((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))dx

Отправлен: 21.06.2006, 16:38 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! Разложим на дроби: ((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))=(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2+1)=(Ax^3+Ax+Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2+Cx^2+Dx+Cx+D)/((x^2+x+1)(x^2+1)); Получаем систему: A+C=1 B+C+D=0 A+C+D=1 B+D=1 Решение системы A=2; B=1; C=-1; D=0 ∫(((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))dx=∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)-∫xdx/(x^2+1)= =∫d(x^2+x+1)/(x^2+x+1)-(1/2)∫(x^2+1)dx/(x^2+1)=ln(x^2+x+1)-(1/2)*ln(x^2+1); --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент) Ответ отправлен: 21.06.2006, 18:11 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.946

1. Найти общий итеграл диференциального уравнения. (ответ представить в виде Ψ(x,y)=C.) x dx-y dy=yx^2dy-xy^2dx

Отправлен: 21.06.2006, 16:51 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Топрчий Андрей Валерьевич/Arian! x dx-ydy=y(x^2)dy-x(y^2)dx x(1+y^2) dx=y(1+x^2)dy x/(1+x^2) dx=y/(1+y^2)dy (1/2)ln(x^2+1)=(1/2)ln(y^2+1)+(1/2)ln(C) x^2+1=C(y^2+1) Ответ (x^2+1)/(y^2+1)=C

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 17:00 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.951

Знайти загальний інтеграл диф-ого рівняння. Найти общий интеграл диф-го уравнения. y^2 y 4y'=------- +10----- + 5 x^2 x

Отправлен: 21.06.2006, 17:17 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! 4y'=y^2/x^2 +10 *y/x +5 сделаем замену y=x*t; y'=t+x*t' 4*(t+x*t')=t^2+10*t+5 4*x*t'=t^2+6*t+5=(t+1)*(t+5) 4*dt/((t+1)*(t+5))=dx/x 1/((t+1)*(t+5))=A/(t+1)+B/(t+5) 1=A*(t+5)+B*(t+1) A+B=0 5*A+B=1 B=-A 5*A-A=1 => A=1/4, B=-1/4 dt/(t+1)-dt/(t+5)=dx/x ln((t+1)/(t+5))=ln(x)+ln(C) (t+1)/(t+5)=C*x (y/x+1)/(y/x+5)=C*x (y+x)/(y+5*x)=C*x Ответ (y+x)/(y+5*x)=C*x

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 21:23 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.952

Найти общий интеграл диф-го уравнения. x+5y-6 y'=---------- 7x-y-6

Отправлен: 21.06.2006, 17:19 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! (Метод переноса начала координат в точку пересечения прямых) Найдём точку пересечения прямых 7x-y-6=0 x+5y-6=0 x=1; y=1 сделаем замену x=x1+1 y=y1+1 получим следующее уравнение y1'=(x1+5y1)/(7x1-y1) - это однородное уравнение сделаем замену y1=t*x1; y1'=t+t'*x1 t+t'*x1=(x1+5x1*t)/(7x1-x1t)=(1+5t)/(7-t) x1*t'=(1+5t)/(7-t)-t=(1+5t-7t+t^2)/(7-t)=(1-2t+t^2)/(7-t)=((1-t)^2)/(7-t) (7-t)dt/((1-t)^2)=dx1/x1 разложим дробь (7-t)/((1-t)^2)=A/(1-t)+B/((1-t)^2) 7-t=A(1-t)+B t: -1=-A 1: 7=A+B т.о. А=1; B=6 ntegral dt/(1-t)=-ln(1-t) ntegral dt/((1-t)^2)=integral -d(1-t)/((1-t)^2)=1/(1-t) [1/(1-t)+6/((1-t)^2)]dt=dx1/x1 -ln(1-t)+6/(1-t)=ln(x1)+ln(C) возвращаемся к нашим переменным -ln(1-y1/x1)+6/(1-y1/x1)=ln(x1)+ln(C) -ln((x-y)/(x-1))+6(x-1)/(x-y)=ln(x-1)+ln(C) e^(6(x-1)/(x-y))=C*(x-y)

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 22.06.2006, 10:58

Вопрос № 46.954

Решить задачу Коши. 2y y- ---------- = (x+1)^3 , y(0) =1/2 (x+1)

Отправлен: 21.06.2006, 17:22 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! y'-2y(x+1)=(x+1)^3, y(0)=1/2 решим сначала однородное уравнение y'-2y(x+1)=0 (x+1)dy=2ydx dy/y=2dx/(x+1) ln(y)=2ln(x+1)+ln(C) y=C((x+1)^2) воспользуемся методом вариации постоянных ищем решение в виде y=C(x)*((x+1)^2) - подставим в исходное уравнение y'=C'(x)*((x+1)^2)+2*C(x)*(x+1) C'(x)*((x+1)^2)+2*C(x)*(x+1)-2*C(x)*(x+1)=(x+1)^3 C'(x)=x+1 C(x)=(x^2)/2+x+C т.о. y=((x^2)/2+x+C)*((x+1)^2) найдём константу из условия y(1)=1/2 1/2=(1/2+1+C)*4 1/8=3/2+C =>C=-11/8 Ответ: y=((x^2)/2+x-11/8)*((x+1)^2)

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 23:03 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.955

Решить задачу Коши. y (x+ln^2 y-ln y)y' = --- , Y =0 x=-2

Отправлен: 21.06.2006, 17:26 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Arian! Насколько я понял, задание следующее (Вы писали в форум): Решить задачу Коши (x+ln^2 y-ln y)y' = y/2, y x=2 =1. Т. е. при x=2 y=1. Мои выкладки находятся в приложении. С уважением, Mr. Andy. Приложение: Поменяем в данном уравнении ролями переменные x и y. Используя формулу y'=1/x', имеем x+(ln y)^2-ln y=x'y/2, (y/2)x'-x=(ln y)^2-ln y. (1) Получили уравнение Бернулли. Решаем соответствующее ЛОДУ: (y/2)x'-x=0, dx/x=2dy/y, ln |x|=2ln |y|+ln |C|, x=Cy^2. (2) Ищем решение уравнения (1), полагая x=C(y)y^2, откуда x'=C'(y)y^2+2C(y)y. Подстановка в уравнение (1) даёт (y/2)(C'(y)y^2+2C(y)y)-C(y)y^2=(ln y)^2-ln y, C'(y)(y^3)/2=(ln y)^2-ln y, C'(y)=2((ln y)^2-ln y)/y^3, C(y)=-(ln y)^2/y^2+C (здесь опущены выкладки, связанные с нахождением интегралов, содержащих логарифмическую функцию). Подставляя выражение для С(y) в уравнение (2), получаем x=C-(ln y)^2/y^2. При заданных начальных условиях (x=2, y=1) имеем 2=С-(ln 1)^2/1^2, 2=C. Следовательно, решением задачи Коши будет x=2-(ln y)^2/y^2. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 23.06.2006, 10:51

Вопрос № 46.956

Найти ришения задачи Коши y' - y = xy^2, y(0)=1

Отправлен: 21.06.2006, 17:28 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! y' - y = xy^2 делаем замену z=1/y z'=-y'/y2 z'+z=-x решаем уравнение z'+z=0 dz/z=-dx ln(z)=-x+ln(C) z=C*e^(-x) подставим z=C(x)*e^(-x) в исходное ур-е, получим C'(x)e^(-x)-C(x)*e^(-x)+C(x)*e^(-x)=x C'(x)=x*(e^x) C(x)=(x-1)*(e^x)+C z=((x-1)*(e^x)+C)*e^(-x)=(x-1)+C*(e^(-x)) y=1/((x-1)+C*(e^(-x))) y(0)=1/(-1+C)=1 => -1+C=1 => C=2 Ответ y=1/((x-1)+2*(e^(-x)))

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 18:08 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.958

Вычислить определённые интегралы ∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx от 2 к 3

Отправлен: 21.06.2006, 17:33 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Mr Jackal! ∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx сделаем замену t=(3-2x)/(2x-7) t(2)=-1/(-3)=1/3 t(3)=-3/(-1)=3 (2x-7)*t=(3-2x); 2x*t+2x=7*t+3; x=(7*t+3)/(2*t+2) dx=[7*(2*t+2)-2*(7*t+3)]/((2*t+2)^2)dt получим интеграл по t от 1/3 до 3 от [2*sqrt(t)/((t+1)^2)]dt сделаем замену z=sqrt(t); dz=dt/(2*sqrt(t)); dt=2zdz z(1/3)=sqrt(1/3) z(3)=sqrt(3) получим интеграл по z от sqrt(1/3) до sqrt(3) от 4*(z^2)/(((z^2)+1)^2)dz разложим 4*(z^2)/(((z^2)+1)^2) на простейшие дроби 4*(z^2)/(((z^2)+1)^2)=(Az+B)/((z^2)+1)+(Cz+D)/(((z^2)+1)^2) 4*(z^2)=(Az+B)*((z^2)+1)+(Cz+D)=A(z^3)+B(z^2)+Az+B+Cz+D A=0; B=4; A+C=0; B+D=0 => A=0; B=4; C=0; D=-4 т.о. 4*(z^2)/(((z^2)+1)^2)=4/((z^2)+1)-4/(((z^2)+1)^2) интеграл от dz/((z^2)+1)=arctg(z) интеграл от dz/(((z^2)+1)^2)=z/(2*((z^2)+1))+arctg(z) в итоге получим выражение -4*z/(2*((z^2)+1)) где z от sqrt(1/3) до sqrt(3) -4*sqrt(3)/(2*(3+1))-(-4*sqrt(1/3)/(2*(1/3+1)))= -4*sqrt(3)/8+4*sqrt(1/3)/(8/3)=-sqrt(3)/2+sqrt(3)/2=0 Ответ: ∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx от 2 к 3 = 0

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 23:47 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.962

Найти общий интеграл дифер. уравнения. (sin y + y sin x + 1/x)dx + (x cos y - cos x +1/y)dy=0

Отправлен: 21.06.2006, 18:01 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! (sin y + y sin x + 1/x)dx + (x cos y - cos x +1/y)dy=0 M(x,y)=sin y + y sin x + 1/x N(x,y)=x cos y - cos x +1/y (частные производные) dM/dy=cos y+sin x dN/dx=cos y + sin x т.о. имеем уравнение в полных дифференциалах ищем решение в виде F(x,y) где частные производные dF/dx=sin y + y sin x + 1/x; dF/dy=x cos y - cos x +1/y dF/dx=sin y + y sin x + 1/x проинтегрируем по x при постоянном y F(x,y)=x*sin(y)-y*cos(x)+ln(x)+phi(y) продифференцируем по y dF(x,y)/dy=x*cos(y)-cos(x)+phi'(y)=x cos y - cos x +1/y phi'(y)=1/y phi(y)=ln(y)+C т.о. получаем ответ: x*sin(y)-y*cos(x)+ln(x)+ln(y)=C

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 23:57 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.963

8. Для даного диференційного рівняння методом ізоклін побудувати інтегральну криву, що проходить через точку М. y’=y-x, M(4,2).

Отправлен: 21.06.2006, 18:05 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! Изоклин это ГМТ на плоскости (x,y), в которых наклон касательных к решениям уравнения y'=F(x,y) один и тот же т.е. F(x,y)=C (const) в данном случаем F(x,y)=y-x это прямая на плоскости для нахождения C подставим точку M, получим C=2-4=-2 т.о. интегральной кривой является прямая y-x+2=0

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 18:32 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.964

9. Найти линию, проходящую через точку Mo и обладающую тем свойством, что в любой её точке M касательный вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox, обратно пропорциональную абсциссе точки M. Коэффициент пропорциональности равен а. Mo (1, 1/e^2), a=1/4

Отправлен: 21.06.2006, 18:08 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Arian! Предлагаю Вам ознакомиться с решением, которое находится в приложении. Ход решения, думаю, правильный, а вот численные выкладки рекомендую проверить... С уважением, Mr. Andy. Приложение: Пусть х, у - координаты произвольной точки М искомой линии, Х, Y- координаты конца касательного вектора в этой точке. Тогда уравнение касательной можно записа 90;ь в виде: y'=(y-Y)/(x-X). По условию задачи х-Х=a/x, Y=0. В результате получаем: y'=x*y/a, dy/dx=x*y/a, dy/y=(x/a)*dx, ln |y|=(1/2*a)*(x^2)+C. В точке М0 х=1, y=e^(-2), -2=2*(1^2)+C, C=-4, откуда получаем уравнение искомой кривой: y=e^(2*(x^2)-4). --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 22.06.2006, 09:06

Вопрос № 46.965

10. Найти общее решение дифференциального уравнения (1+sin x)y'''+y''=cosx y''

Отправлен: 21.06.2006, 18:09 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Arian! Решение находится в приложении. С уважением, Mr. Andy. Приложение: Положим y"=p(x), тогда y'''=dp/dx и исходное уравнение приводится к виду (1+sin x)p'=(cos x)p. Решая последнее уравнение, находим: dp/p=((cos x)/(1+sin x))dx, dp/p=((1+sin x)'/(1+sin x))dx, ln |p|=ln (1+sin x)+ln C1 (отметим, что при x=(-п/2)+-2пn функция ln (1+sin x) не определена), p=C1*(1+sin x), y"=C1*(1+sin x). Применяя двухкратное интегрирование, находим: y'=C1*(x-cos x+C2), y=C1*(((x^2)/2)-sin x+C2*x+C3). --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 23.06.2006, 08:58

Вопрос № 46.967

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения (1+sin x)*y''=cosx*y'' 11 Найти решение задачи Коши. y''+50*sin y*cos y^3=0 12. загальне рішення диференціального рівняння. y’’’-y’’=6x+5. 13. Знайти загальне рішення диференціального рівняння. у’’’ + 5у’’ + 7у’ + 3у = (16х + 20)е^х. 14. Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x). 15. Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' + 5y' = 50 sh 5x 16. Найти решение задачи Коши. y'' + 4y = 4/cos 2x, y(0) = 2, y'(0) = 0.

Отправлен: 21.06.2006, 18:17 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! 10 если в условии нет ошибки, то решение сводится к нахождению y''=0 y=C1+C2*x - общее решение 12 λ^3-λ^2=0 => λ=0, λ=1 т.о. общее решение однородного уравнения имеет вид y0=C1*e^x+(C2+C3*x) частное решение ищем методом неопределенных коэффициентов в виде y1=(x^2)*(Ax+B) (y1)'=3*A*(x^2)+2*B*x (y1)''=6*A*x+2*B (y1)'''=6*A 6*A-6*A*x-2*B=6*x+5 x: -6*A=1 1: 6*A-2*B=5 A=-1/6; B=-3 Овет y=y0+y1=C1*e^x+(C2+C3*x)+(x^2)*(-x/6-3) 15 λ^2+5λ=0; λ=0, λ=-5 y0=C1+C2*e^(-5*x) Воспользуемся методом вариации постоянных ищем решение в виде y=C1(x)+C2(x)*e^(-5*x) тогда получаем следующую систему (C1(x))'+(C2(x))'*e^(-5*x)=0 -5(C2(x))'*e^(-5*x)=25(e^(5x)-e^(-5x)) откуда (C2(x))'=5(e^(10x)-1) (C1(x))'=-(C2(x))'*e^(-5*x)=-5(e^(5x)-e^(-5x))=-10sh(5x) C1(x)=-2ch(5x)+A C2(x)=(1/2)*e^(10x)-5x+B т.о. общее решение имеет вид y=-2ch(5x)+A+((1/2)*e^(10x)-5x+B)*e^(-5*x)

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 23.06.2006, 14:18

Вопрос № 46.970

Вычислить определенные интегралы. ∫dx/(sqrt((64-(x^2))^3)) [0; 4*sqrt(3)]

Отправлен: 21.06.2006, 18:59 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Mr Jackal! в справочнике есть формула: ∫dx/(sqrt((a^2-(x^2))^3)) = x/(a^2*(sqrt((a^2-(x^2))+с если воспользоваться, то 4√3/(64√(64-48)=√3/64

Ответ отправила: Dayana (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 21.06.2006, 20:50 Оценка за ответ: 5

Отвечает: gitter Здравствуйте, Mr Jackal! ∫dx/(sqrt((64-(x^2))^3)) [0; 4*sqrt(3)] сделаем замену x=8*cos(t) x(0)=0=8*cos(t)=> t0=PI/2 x(4*sqrt(3))=4*sqrt(3)=8*cos(t)=> t1=PI/6 dx=-8*sin(t)dt ∫-8*sin(t)dt/((8*sin(t))^3)=(-1/64)∫dt/((sin(t))^2)=(1/64)*(ctg(t0)-ctg(t1))=sqrt(3)/64 PS Формула-то формулой, но это не есть основная формула, да и такие формулы тяжело запоминать.Необходимо такие интегралы преобразовывать к простейшим.

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 22.06.2006, 01:00 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 46.972

14. Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x)

Отправлен: 21.06.2006, 19:20 Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter Здравствуйте, Arian! y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x) решаем однородное уравнение y'' + 2y' =0 λ^2+2λ=0; λ=0, λ=-2 y0=C1+C2*(e^(-2x)) частное решение ищем в виде y1=e^x (A*sin x + B*cos x) y1'=e^x (A*sin x + B*cos x)+e^x (A*cos x - B*sin x)=e^x [(A-B)*sin x + (A+B)*cos x] y1''=e^x (A*sin x + B*cos x)+e^x (A*cos x - B*sin x)+e^x (A*cos x - B*sin x)+e^x (-A*sin x - B*cos x)=e^x[(A-B-B-A)sin x+(B+A+A-B)cos x] y'' + 2y'=e^x[-2*B*sin x+2*A*cos x]+2*e^x [(A-B)*sin x + (A+B)*cos x]=3e^x (sin x + cos x) cos x: 2*A+2*(A+B)=3 => 4*A+2*B=3 sin x: -2*B+2*(A-B)=3 => -4*B+2*A=3 т.о. A=9/10; B=-3/10 т.о. общее решение записывается в виде y=y0+y1 y=C1+C2*(e^(-2x))+e^x (9*sin x - 3*cos x)/10

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 22.06.2006, 00:33 Оценка за ответ: 5

© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А. Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31 Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.34 от 01.06.2006