Вопрос № 46128: Помогите решить простой пример (получилось после подстановки два интеграла) integ(t^4/(t^2+1)^(1/2)) и integ(t^2/(t^2+1)^(1/2))(или хотя бы каким методом их решить)
Заранее благодарен!...Вопрос № 46140: Здравствуйте эксперты!
при решении интеграла (с тремя подстановками) integ ((x^2-1)^(1/2))/x dx у меня получается
ln|x|+x^2/2+1/x-1 сверяя с ответом получаю (x^2-1)^(1/2)+arctg((x^2-1)^(1/2))-может я не тем методом ползовался и каким спо...Вопрос № 46182: Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, чему равна сумма ряда:
S = sum [1/(2k(2k-1))]
Сумма вычисляется в интервале от 1 до n, k -- целое.
Спасибо!
Юрий...Вопрос № 46203: Здравствуйте!
Прошу помочь, завис над интегрированием по частям integ x^2*e^(5x) dx
p.s. решение желательно в ближайший час - оценю все ответы с решением (please help!)...Вопрос № 46213: Дан стакан. Человек начинает из него пить. Когда дальняя граница воды походит до середины дна стакана, человек перестает пить. Вычислить отношение объема оставшейся воды к объему стакана....
Вопрос № 46.128
Помогите решить простой пример (получилось после подстановки два интеграла) integ(t^4/(t^2+1)^(1/2)) и integ(t^2/(t^2+1)^(1/2))(или хотя бы каким методом их решить)
Заранее благодарен!
Отправлен: 13.06.2006, 19:28
Вопрос задал: Sage (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Sage!
Рассмотрим общий случай I(m)=integ(t^m/(t^2+1)^(1/2))dt
сделав замену x=t^2; t=x^(1/2); dt=(1/2)*x^(-1/2)dx, получим
I(m)=(1/2)*integral[((x+1)^(-1/2))*(x^((m-1)/2))dx
воспользуемся формулами приведения
J(p,q)=int[((a+b*x)^p)*(x^q)]dx=[((a+b*x)^(p+1))*(x^q)]/(b*(p+q+1))-[a*q/(b*(p+q+1))]*J(p,q-1)
a=1; b=1; p=-1/2; q=(m-1)/2; p+q=m/2-1<>-1 при m<>0
J(-1/2,(m-1)/2)=[((1+x)^(1/2))*(x^((m-1)/2))]/(m/2)-[((m-1)/2)/(m/2)]*J(-1/2,(m-3)/2)
возвращаемся к старым переменным, получим
I(m)=(1/m)*((1+t^2)^(1/2))*(t^(m-1))-((m-1)/m)*I(m-2)
подставим m=2
I(2)=(1/2)*((1+t^2)^(1/2))*t-(1/2)*I(0)
замечая, что
I(0)=integral[1/(1+t^2)]dt=Ln|t+(1+t^2)^(-1/2)|+C
получим
I(2)=(1/2)*((1+t^2)^(1/2))*t-(1/2)*Ln|t+(1+t^2)^(-1/2)|+C1
далее
I(4)=(1/4)*((1+t^2)^(1/2))*(t^(3))-(3/4)*I(2)=(1/4)*((1+t^2)^(1/2))*(t^(3))-(3/4)*[(1/2)*((1+t^2)^(1/2))*t-(1/2)*Ln|t+(1+t^2)^(-1/2)|]+C2
ну, осталось только навести красоту.
PS о формулах приведения можно почитать в учебнике Фихтенгольца т.2 Глава 8
Ответ отправил: gitter (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 13.06.2006, 21:49 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 46.140
Здравствуйте эксперты!
при решении интеграла (с тремя подстановками) integ ((x^2-1)^(1/2))/x dx у меня получается
ln|x|+x^2/2+1/x-1 сверяя с ответом получаю (x^2-1)^(1/2)+arctg((x^2-1)^(1/2))-может я не тем методом ползовался и каким способом возможно решить?
Заранее спасибо.
Отправлен: 13.06.2006, 21:28
Вопрос задал: Sage (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Татьяна
Здравствуйте, Sage!
Тут необходимо сделать замену x^2-1 = t^2
x = (t^2 +1)^(1/2)
dx = t/(t^2+1)^(1/2) dt
Итого получаем
integ (t^2/(t^2+1))dt = integ ((t^2+1-1)/(t^2+1))dt = integ(dt) - integ (1/(t^2+1))dt = t -arctgt
Ну и обратная замена t на х
Правда у меня "-" появился, может где-то в знаках ошиблась - проверьте
--------- Возможно все. И ничего возможно тоже.
Ответ отправила: Татьяна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 13.06.2006, 21:45 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Калимуллин Дамир Рустамович
Здравствуйте, Sage!
Попробуйте найдите производную вашего ответа и ответа, который дан.
--------- Нет плохого софта, есть плохие люди.
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Sage!
Замена гиперболической тригонометрией: (моя любимая =)
x = cht; d=sht∙dt
(√(x^2-1))/x dx = [(cht)^2 - 1]/cht dt = [cht - cht/(cht)^2] dt
integ(cht dt) = sht;
integ(cht/(cht)^2)dt = integ(d(sht)/[(sht)^2+1]) = integ(dz/[z^2+1]) = arctg(z);
z = sht = √[(sht)^2] = √[(cht)^2 - 1] = √[x^2 - 1]
исходный интеграл равен z - arctg(z), где z = √[x^2 - 1]
Странно, но уменя тоже получился знак минус :-/
Приложение:
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 03:11 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 46.182
Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, чему равна сумма ряда:
S = sum [1/(2k(2k-1))]
Сумма вычисляется в интервале от 1 до n, k -- целое.
Спасибо!
Юрий
Приложение:
Отправлен: 14.06.2006, 10:50
Вопрос задал: Qai (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: wils0n
Здравствуйте, Qai!
Хм...не претндую на правильность, но поделюсь своими соображениями.
Итак,
S= sum_{k=1}^{n}(1/(2k(2k-1))).
Разложим выражение 1/(2k(2k-1)) в сумму простых дробей. Получится
1/(2k(2k-1)) = 1/(2k-1) - 1/(2k)
То есть наша сумма будет выглядить, как
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + .... + 1/(2n+1) - 1/(2n),
Что можно записать, как
S = sum_{k=1}^{2n} ((-1)^{k+1}/k)
Теперь, если представить эту сумму в виде разности двух рядов, то получим
S = sum_{k=1}^{infty}((-1)^{k+1}/k) - sum_{k=2n+1}^{infty}((-1)^{k+1}/k).
Из чего сразу видно, что первый ряд это разложение log(n+1) в точке n=1, то есть равно log(2) . А второй ряд, это остаточный член тогоже разложения. Что с ним теперь делать?
......
дальше писать не хочу, так как пальцы сломать можно, если все эти ряды выводить. см. здесь
http://mathe.sbn.bz/46182.pdf
или
http://mathe.sbn.bz
--------- Life is like a box with chocolate. You never know what you're gonna get. (c) Forrest Gump's mom
Ответ отправил: wils0n (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 11:46 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Qai!
Предлагаемое решение находится во вложении.
С уважением.
Приложение:
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 14:31 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 46.203
Здравствуйте!
Прошу помочь, завис над интегрированием по частям integ x^2*e^(5x) dx
p.s. решение желательно в ближайший час - оценю все ответы с решением (please help!)
Отправлен: 14.06.2006, 14:00
Вопрос задал: Sage (статус: Посетитель)
Всего ответов: 5 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Sage!
Решение здесь. http://gitter.narod.ru/RusFAQ/46203.rar
Удачи!
Ответ отправил: gitter (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 14:18 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо!
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Sage!
∫(x^2*e^(5x))dx={первый раз интегрируем по частям}=[U=x^2; dU=2xdx; dV=e^(5x); V=e^(5x)/5]=
=x^2*e^(5x)/5-(2/5)*∫x*e^(5x)dx={второй раз интегрируем по частям}=[U=x; dU=dx; dV=e^(5x); V=e^(5x)/5]=
=x^2*e^(5x)/5-(2/5)*(x*e^(5x)/5-(1/5)*∫e^(5x)dx)=x^2*e^(5x)/5-2*x*e^(5x)/25+2*e^(5x)/125
Удачи!!!
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 14:23 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Sage!
udv = uv - vdu
int[exp(5x)∙x^2 dx] =
exp(5x)∙x^2/5 - int[[2/5]∙exp(5x)∙x dx] =
exp(5x)∙x^2/5 - [2/25]∙exp(5x)∙x + int[[2/25]∙exp(5x) dx] =
(25x^2 - 10x + 2x)∙exp(5x)/125
В чем тут можно было зависнуть?
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 14:24 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Thank! вчера сам решил (поспешил с вопросом)
Отвечает: wils0n
Здравствуйте, Sage!
http://mathe.sbn.bz/46203.pdf
--------- Life is like a box with chocolate. You never know what you're gonna get. (c) Forrest Gump's mom
Ответ отправил: wils0n (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 14:39 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Отличное исполнение! Спасибо! Побольше бы таких качественных решений.:)
Ответ отправил: Калимуллин Дамир Рустамович (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 14:55 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 46.213
Дан стакан. Человек начинает из него пить. Когда дальняя граница воды походит до середины дна стакана, человек перестает пить. Вычислить отношение объема оставшейся воды к объему стакана.
Приложение:
Отправлен: 14.06.2006, 15:43
Вопрос задал: Archangel (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 10)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Archangel!
пусть стакан имеет форму цилиндра радиуса R и высоту H
"поставим стакан" на плоскость xOy вдоль положительной оси z
спроектируем искомый объём на плоскость xOz, получим прямоугольный треугольник с катетами R,H
заметим, что искомый объём это это набор полуокружностей радиуса r=z*tg(a) в любой точке 0<=z<=H где tg(a)=R/H
т.е. искомый объём сводится к вычислению интеграла
интеграл по z от 0 до H от (1/2)*PI*((z*tg(a))^2)dz=
(1/2)*PI*((H^3)/3)*(tg(a)^2)
объём "стакана"=PI*(R^2)*H
т.о. отношение объёма всего стакана к объёму оставшейся воды равно
[PI*(R^2)*H]/[(1/2)*PI*((H^3)/3)*((R/H)^2)]=6/R
Вроде не ошибся.
Ответ отправил: gitter (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 17:07
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Archangel!
Советую Вам воспользоваться такой книженцией: Справочник по матиматике для инженеров и учащихся ВУЗов. И.Н.Бронштейн (Москва 1957). (стр. 175)
Если стакан имеет форму цилиндра то:
Там Вы найдете формулу по нахождению объема куска цилиндра для вашей задачи.
При подстановке значений в формулу для отрезка цилиндра получим (r - радиус основания, h - высота цилиндра).
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент)
Ответ отправлен: 14.06.2006, 17:21
