Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RusFAQ.ru: Математика


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 149
от 25.06.2006, 12:35

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 119, Экспертов: 31
В номере:Вопросов: 13, Ответов: 14


Вопрос № 46684: Найти общий интеграл диференциального уровнения 2y'=((y^2)/(x^2))+8*(y/x)+8...
Вопрос № 46685: Найти общий интеграл диференциального уровнения y'=(x+2y-3)/(x-1)...
Вопрос № 46688: Решить задачу Коши y'-((2xy)/(1+x^2))=1+x^2, y(1)=3...
Вопрос № 46698: Решить задачу Коши y'+2xy=2(x^3)(y^3), y(0)=sqrt(2)...
Вопрос № 46701: Найти общий интеграл диференциального уровнения (10*x*y-(1/siny))dx+(5*(x^2)+(x*cosy/sin^2*(y))-(y^2)*sin(y^3))dy=0...
Вопрос № 46702: Для даного диф. уровнения методом изоклин построить интегральную кривую, которая проходит через точку М. y'=x+2y, M(3;0)...
Вопрос № 46710: Найти общее решение дифференциального уравнения thx*y^4=y'''...
Вопрос № 46711: Найти решение задачи Коши. y''=8*sin^3(y)*cos(y), y(1)=pi/2, y'(1)=2...
Вопрос № 46713: Найти общее решение дифференциального уравнения y''''-3*y'''+3*y''-y'=x-3...
Вопрос № 46781: Найти общий интеграл диференциального уровнения y'''-y''-4y'+4y=(7-6x)*e^x...
Вопрос № 46782: Найти общее решение дифференциального уравнения. y''+6y'+13y=(e^-3x)*cosx...
Вопрос № 46783: Найти общее решение дифференциального уравнения. y''+36y=24sin6x-12cos6x+36(e^6x)...
Вопрос № 46785: Найти решение задачи Коши. y''-6y'+8y=(4(e^2x))/(1+(e^-2x)), y(0)=0, y'(0)=0...

Вопрос № 46.684
Найти общий интеграл диференциального уровнения

2y'=((y^2)/(x^2))+8*(y/x)+8
Отправлен: 19.06.2006, 12:54
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
имеем однородное уравнение
делаем замену y=x*t
dy=tdx+xdt
2*tdx+2*xdt=(t^2+8*t+8)dx
dx/(2*x)=dt/(t^2+6*t+8)
интегрируем
(1/2)*ln(x)=(1/2)*ln(t+2)-(1/2)*ln(t+4)+C
ln(x)=ln((y/x+2)/(y/x+4))+lnC
x=C*(y+2*x)/(y+4*x)
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 13:08
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.685
Найти общий интеграл диференциального уровнения

y'=(x+2y-3)/(x-1)
Отправлен: 19.06.2006, 12:55
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Перепишем исходное уравнение в виде
y'-2*y/(x-1)=(x-3)/(x-1)
решим однородное уравнение
y'-2*y/(x-1)=0
dy/y=2dx/(x-1)
ln(y)=2ln(x-1)+lnC
y=C(x)*(x-1)^2
подставим полученное выражение в данное уравнение, получим
C'(x)*(x-1)^2+2*(x-1)*C(x)-2*C(x)*((x-1)^2)/(x-1)=(x-3)/(x-1)
C'(x)=(x-3)/((x-1)^3)
(x-3)/((x-1)^3)=A/(x-1)+B/(x-1)^2+C/(x-1)^3
A*(x-1)^2+B*(x-1)+C=x-3
A*x^2+(-2*A+B)*x+(A-B+C)=x-3
A=0, B=1, C=-2
C'(x)=1/(x-1)^2-2/(x-1)^3
C(x)=-1/(x-1)+1/(x-1)^2+Const
т.о.
y=(-1/(x-1)+1/(x-1)^2+C)*(x-1)^2
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 13:54
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.688
Решить задачу Коши

y'-((2xy)/(1+x^2))=1+x^2, y(1)=3
Отправлен: 19.06.2006, 12:58
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
для начала решим уравнение y'-((2xy)/(1+x^2))=0
dy/y=2*xdx/(1+x^2)
ln(y)=ln(1+x^2)+lnC
y=C(x)*(1+x^2)
подставим полученное выражение в данное уравнение, получим
C'(x)*(1+x^2)+2*x*C'(x)-2*x*C(x)*(1+x^2)/(1+x^2)=1+x^2
C'(x)=1
C(x)=x+C
т.о.
y=(x+C)*(1+x^2)
y(1)=(1+C)*(1+1)=2+2*C=3 => C=1/2

Ответ y=(x+1/2)*(1+x^2)
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 13:38
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.698
Решить задачу Коши

y'+2xy=2(x^3)(y^3), y(0)=sqrt(2)
Отправлен: 19.06.2006, 14:14
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
имеем уравнение Бернули
делим обе части на y^3
y'/(y^3)+2x/(y^2)=2(x^3)
делаем замену z=1/(y^2)
dz=-dy/y
-z*z'+2*x*z=2*(x^2)
(z*(2*x-1))dz=2*(x^2)dx
zdz=(2*(x^2)/(2*x-1))dx
2*(x^2)/(2*x-1)=(1/2)*[(2*x-1)^2+2*(2*x-1)+1]/[2*x-1]
(z^2)/2=(1/2)*[x^2-x+2*x+ln(2*x-1)]+(1/2)*C
z^2=x^2+x+ln(2*x-1)+C

т.о.
1/y^4=x^2+x+ln(2*x-1)+C
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 14:31
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.701
Найти общий интеграл диференциального уровнения

(10*x*y-(1/siny))dx+(5*(x^2)+(x*cosy/sin^2*(y))-(y^2)*sin(y^3))dy=0
Отправлен: 19.06.2006, 14:20
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
(10*x*y-(1/siny))dx+(5*(x^2)+(x*cosy/sin^2*(y))-(y^2)*sin(y^3))dy
M(x,y)=10*x*y-(1/siny); dM(x,y)/dy=10*x+(cos(y)/((sin(y)^2)
N(x,y)=5*(x^2)+(x*cosy/sin^2*(y))-(y^2)*sin(y^3); dN(x,y)/dx=10*x+(cos(y)/((sin(y)^2)
т.к. dM(x,y)/dy=dN(x,y)/dx то имеем уравнение в полных дифференциалах
Необходимо найти F(x,y) частные производные которого
dF/dx=10*x*y-(1/siny); (1)
dF/dy=5*(x^2)+(x*cosy/sin^2*(y))-(y^2)*sin(y^3) (2)
Проинтегрируем (1) по x при постоянном y
F(x,y)=5*(x^2)*y-x/sin(y)+phi(y) - подставим в (2), получим
5*(x^2)+x*cos(y)/((sin(y))^2)+phi'(y)=5*(x^2)+(x*cosy/sin^2*(y))-(y^2)*sin(y^3)
phi'(y)=-(y^2)*sin(y^3)
phi(y)=-integral[(y^2)/sin(y^3)]dy=(-1/3)*integral(d(y^3)/sin(y^3))=(-1/3)*ln|tg((y^3)/2)|+C
т.о. F(x,y)=5*(x^2)*y-x/sin(y)+(-1/3)*ln|tg((y^3)/2)|+C
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 20:33
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.702
Для даного диф. уровнения методом изоклин построить интегральную кривую, которая проходит через точку М.

y'=x+2y, M(3;0)
Отправлен: 19.06.2006, 14:31
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Изоклин это ГМТ на плоскости (x,y), в которых наклон касательных к решениям уравнения y'=F(x,y) один и тот же
т.е. F(x,y)=k (const)
в данном случаем F(x,y)=x+2*y это прямая на плоскости
для нахождения k подставим точку M, получим
k=3+0=0
т.о. интегральной кривой является прямая x+2*y-3=0
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 14:44
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.710
Найти общее решение дифференциального уравнения

thx*y^4=y'''
Отправлен: 19.06.2006, 15:28
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
запишем уравнение в виде
sh(x)*y''''-ch(x)*y'''=0 разделим на (sh(x)^2) (далее надо будет рассмотреть случай sh(x)=0)
(y'''/sh(x))'=0
y'''/sh(x)=C
y'''=C*sh(x)
y''=C*ch(x)+C2
y'=C*sh(x)+C2*x+C3

y=C*ch(x)+C2*x^2/2+C3*x+C4
и в случае sh(x)=0 y'''=0 =>y=C*x^2/2+C1*x+C2

Ответ y=C*ch(x)+C2*x^2/2+C3*x+C4
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 18:35
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.711
Найти решение задачи Коши.

y''=8*sin^3(y)*cos(y), y(1)=pi/2, y'(1)=2
Отправлен: 19.06.2006, 15:30
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
y''=8*sin^3(y)*cos(y)
заметим, что 4*sin^3(y)*cos(y)=((sin(y))^4)'*y'
т.о.
y'*y''=2*((sin(y))^4)'
заметим, что y'*y''=(1/2)*((y')^2)'
получим
((y')^2)'=4*((sin(y))^4)'
(y')^2=4*(sin(y))^4+С
C найдём из условия y(1)=pi/2, y'(1)=2
2^2=4*(sin(PI/2)^4)+C => C=4-4=0
т.о.
(y')^2=4*(sin(y))^4
извлекаем корень, получаем следующее уравнение
y'=2*(sin(y))^2
(в правой части при извлечении корня минус опускается, т.к. правая часть
со знаком мину не удовлетворяет условиям задачи Коши)

dy/(sin(y))^2=2dx
-ctg(y)=2*X+C
Cнаходим из условия y(1)=pi/2
-ctg(pi/2)=2*1+C => C=-2

Ответ -ctg(y)=2*X-2
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 15:59
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.713
Найти общее решение дифференциального уравнения

y''''-3*y'''+3*y''-y'=x-3
Отправлен: 19.06.2006, 15:33
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Mr Jackal!
Характеристическое уравнение для частного решения: L*(L-1)^3 = 0;
отсюда частное решение: y = exp(x)*(Ax^2 + Bx + C);
Делаем замену y = t + x^2/2, подставляем в исходное уравнение и получаем:
t''''- 3*t'''+ 3*t''- t' + (x-3) = x-3
Для уравнения относительно t решение уже найдено.
Коэффициенты A, B и C посчитаете сами - уж если вы за такие задачи беретесь, должны уметь брать производную.
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 19.06.2006, 17:45
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.781
Найти общий интеграл диференциального уровнения

y'''-y''-4y'+4y=(7-6x)*e^x
Отправлен: 20.06.2006, 10:11
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
http://gitter.narod.ru/RusFAQ/46781.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 20.06.2006, 13:44


Вопрос № 46.782
Найти общее решение дифференциального уравнения.

y''+6y'+13y=(e^-3x)*cosx
Отправлен: 20.06.2006, 10:13
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Решение можно скачать здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/46782.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 20.06.2006, 15:27
Оценка за ответ: 5

Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mr Jackal!

К сожалению, у меня нет возможности оформить решение в виде удобочитаемого файла, как это сделал эксперт gitter. У меня получилось такое решение:
y=(e^(-3*x))*(C1*cos(2*x)+C2*(sin(2*x)+(1/3)*cos x). Ход решения такой же...

Просмотрите, пожалуйста, приложение.

С уважением,
Mr. Andy.

P.S. Написал Вам единственно из-за того, что увидел нестыковку в знаках. Написал и усомнился, а была ли нестыковка... Потому что решение своего коллеги я увидел только раз, а во второй раз не смого подключиться к серверу...
P.P.S. Обидно будет, если мою писанину сочтут флудом.

Приложение:

---------
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 09:20
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.783
Найти общее решение дифференциального уравнения.

y''+36y=24sin6x-12cos6x+36(e^6x)
Отправлен: 20.06.2006, 10:15
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Решение можно скачать здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/46783.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 20.06.2006, 14:53
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.785
Найти решение задачи Коши.

y''-6y'+8y=(4(e^2x))/(1+(e^-2x)), y(0)=0, y'(0)=0
Отправлен: 20.06.2006, 10:17
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Решение можно скачать здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/46785.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 20.06.2006, 15:52
Оценка за ответ: 5


Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!

Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.


© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А.
Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.34 от 01.06.2006
Яндекс Rambler's Top100

В избранное