Все выпуски  

RusFAQ.ru: Математика


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 138
от 11.06.2006, 22:35

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 111, Экспертов: 37
В номере:Вопросов: 2, Ответов: 4


Вопрос № 45431: здравствуйте. 1) нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость: n-ный член ряда: |arccos(1/n)/n|. У меня выходит так - по прзнаку Даламбера limUn+1/Un=lim |(arccos(1/(n+1))/(n+1))*(n/arccos(1/n))|=1 (?) n>беск. О с...
Вопрос № 45444: Помогите найти формулу последовательности: 0 15 25 33 38 43 47 51 54 57 60 63 66 69 71 74 76 79 81 84 86 88 90 92 95 97 99 101 103 ...

Вопрос № 45.431
здравствуйте.

1) нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость:

n-ный член ряда: |arccos(1/n)/n|. У меня выходит так - по прзнаку Даламбера limUn+1/Un=lim |(arccos(1/(n+1))/(n+1))*(n/arccos(1/n))|=1 (?)
n>беск.
О сходимости ряда в этом случае ничего сказать нельзя. Как можно это решить?

2)найти суму ряда или д-ть, что он расходиться:
беск.
сумма(1/n(n+1)(n+2))
n=1

Не получается составить формулу суммы.
Отправлен: 06.06.2006, 20:46
Вопрос задал: VVVV (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Устинов Сергей Евгеньевич
Здравствуйте, VVVV!

1) Ну почему же =1? У меня получается =0!
arccos(1/(n+1))/(n+1)) = при n>беск = arccos(0)/(беск)=Pi/(беск*2)=0
n/arccos(1/n))=беск*2/Pi=беск.
Итого 0*беск=0!

2) Писать формулы тут лень, полное решение можешь скачать по этой ссылке:
http://uafaq.narod.ru/v45431.rar
Будет что-то не понятно - обращайся!
Удачи!
---------
Ответы на все вопросы - на сайте www.ya.ru :)
Ответ отправил: Устинов Сергей Евгеньевич (статус: Студент)
Ответ отправлен: 06.06.2006, 23:08
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
И все-таки в первом пределе еденица... Наглядно: lim(n/(n+1))=lim(1-1/(n+1)) при n->беск. 1/(n+1)->0. Остается еденица.
За второе задание нельзя не поставить пятерку! Спасибо.

Отвечает: gitter
Здравствуйте, VVVV!
1. Действительно, признак Даламбера дал 1.
Я попробовал ещё признак Раабе
т.е. исследовал следующий предел lim n*(a(n)/a(n+1)-1) при n->беск.
но тоже получил 1

Так что получается, что ничего нельзя сказать о сходимости ряда с членами последовательности |arccos(1/n)/n|

Есть, конечно, ещё более экзотические признаки сходимости, типа признака Куммера , Бертрана и Гаусса (см Фихтенгольца т.2), но, думаю, это не поможет.

Пока писал, вспомнил об интегральном признаке
попробуй найти предел от первообразной фукнции arccos(1/x)/x при x->беск
Навскидку, предел у меня получился - беск. т.е. ряд расходится. Но лучше - перепроверить.
Ответ отправил: gitter (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 01:28
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
b
lim (S(arccos(1/x)dx/x))
b->беск. 1
Ты, что такие интегралы в уме берешь? Молодец, 5 баллов!!! :) Спасибо за ответ.

Отвечает: wils0n
Здравствуйте, VVVV!
В решении первого задания предыдущий оратор явно нагнал. Всем известно, что нельзя умножать бесконечность на ноль, так как из этого ничего хорошего не может выйти.
Итак, первое задание.
Здесь не нужен признак Даламбера, нужен оценочный признак. Заметим, что arccos(1/n) монотонно возрастает при n -> беск. и ограничена сверху значением arccos(0) = Pi/2. Далее можно показать, что уже при всех, начиная с n=3, arccos(1/n)>1. Таким образом, можно сделать справедливую оценку:
Sum_{n=3...беск} (arccos(1/n)/n) > Sum_{n=3...беск}(1/n)
А ряд Sum_{n=3...беск}(1/n) как известно является расходящимся. Таким образом наш ряд тоже расходится, так как начиная с некоторого n0, в нашем случае n0=3, наш ряд больше гармонического ряда.
Воторое задание на всякий случай тоже напишу. Только в отдельном файле, так как пальцы сломать можно, если формулы начать выводить. См. здесь:

http://mathe.sbn.bz/45431.pdf

ЗЫ: Первое задание, кстати, тоже там есть.

---------
Life is like a box with chocolate. You never know what you're gonna get. (c) Forrest Gump's mom
Ответ отправил: wils0n (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 01:57
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Хороший наглядный ответ. Спасибо.


Вопрос № 45.444
Помогите найти формулу последовательности:
0
15
25
33
38
43
47
51
54
57
60
63
66
69
71
74
76
79
81
84
86
88
90
92
95
97
99
101
103
105
107
109
111
113
114
116
118
120
122
124
125
127
129
131
133
134
136
138
139
141
143
Отправлен: 06.06.2006, 22:03
Вопрос задал: Dill (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Dill!

К сожалению, найти формулу, по которой заданная Вами последовательность an воспроизводится точно, мне вывести не удалось. Однако, я получил последовательности котор 99;е близки к ней. Это последовательности bn=[100*sqrt(2*(n-1)/49)] и cn==[100*(2*(n-1)/49)^0,51].
n an bn cn
1 0 0 0
2 15 20 19
3 25 28 27
4 33 34 34
5 38 40 39
6 43 45 44
7 47 49 48
8 51 53 52
9 54 57 56
10 57 60 60
11 60 63 63
12 63 67 66
13 66 69 69
14 69 72 72
15 71 75 75
16 74 78 77
17 76 80 80
18 79 83 82
19 81 85 85
20 84 88 87
21 86 90 90
22 88 92 92
23 90 94 94
24 92 96 96
25 95 98 98
26 97 101 101
27 99 103 103
28 101 104 105
29 103 106 107
30 105 108 108
31 107 110 110
32 109 112 112
33 111 114 114
34 113 116 116
35 114 117 118
36 116 119 119
37 118 121 121
38 120 122 123
39 122 124 125
40 124 126 126
41 125 127 128
42 127 129 130
43 129 130 131
44 131 132 133
45 133 134 134
46 134 135 136
47 136 137 137
48 138 138 139
49 139 139 140
50 141 141 142
51 143 142 143
Полагаю, что варьируя значения коэффициентов, можно получить ещё более точную аппроксимацию. Я применил графический способ нахождения формулы. Если он Вас заинтер есует, могу выслать на указанный Вами адрес соответствующую таблицу MS Excel. Конечно, это кустарно, но на большее у меня не хватает знаний. Полагаю, что можно применить что-т 86; вроде метода наименьших квадратов.

С уважением.

---------
Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 09:36


Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!

Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.


© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А.
Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.34 от 01.06.2006
Яндекс Rambler's Top100

В избранное