Вопрос № 45515: Найти угол между градиентами скалярных полей u(x;y;z) и v(x;y;z) в точке M
v=(6/x)+(2/y)-((3*sqrt(3))/(2*sqrt(2)*z))
M(sqrt(2);sqrt(2);sqrt(2)/2)...Вопрос № 45516: Найти векторные линии в векторном поле a
a=yj+4zk...Вопрос № 45525: Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (наружная нормаль к замкнутой поверхности, которая создана данными поверхностями).
a=x*y*z*i-(x^2)*z*j+3k;
S: (x^2)+(y^2)=(z^2) (z>=0);
P: z=2...Вопрос № 45527: Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (нормаль образует острый угол с осью OZ).
a=x*i+y*j+z*k;
P: (2*x)+(y/2)+z=1...Вопрос № 45540: Найти поток векторного поля а через часть площади P, которая лежит в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).
a=PI*y*j+(1-2*z)*k;
P: (x/4)+(y/3)+z=1...Вопрос № 45542: Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная)
a=((e^2)+2*x)i+(xz-y)j+(1/4)((e^xy)-z)k;
S: (x^2)+(y^2)+(z^2)=3y+3...Вопрос № 45543: Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная)
a=y*i+5*y*j+z*k;
S: (система) [(x^2)+(y^2)=1] и [z=x, z=0(z>=0)]...Вопрос № 45549: Найти поток векторного поля а всквозь замкнутую поверхность S (нормаль внешняя)
a=(x^2)i+(y^2)j+2zk
S: (система) [(x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2]...
Вопрос № 45.515
Найти угол между градиентами скалярных полей u(x;y;z) и v(x;y;z) в точке M
v=(6/x)+(2/y)-((3*sqrt(3))/(2*sqrt(2)*z))
M(sqrt(2);sqrt(2);sqrt(2)/2)
Отправлен: 07.06.2006, 14:03
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
cos(a)=(grad(u),grad(v))/(|grad(u)|*|grad(v)|)
v=(6/x)+(2/y)-((3*sqrt(3))/(2*sqrt(2)*z))
grad(u)=(du/dx,du/dy,du/dz), grad(v)=(dv/dx,dv/dy,dv/dz)
du/dx=-2*(z^3)*(y^2)/(x^3)
du/dy=2*(z^3)*y/(x^2)
du/dz=3*(z^2)*(y^2)/(x^2)
dv/dx=-6/(x^2)
dv/dy=-2/(y^2)
dv/dz=3*sqrt(3)/(2*sqrt(2)*(z^2))
(grad(u),grad(v))=[-2*(z^3)*(y^2)/(x^3)]*[-6/(x^2)]+[2*(z^3)*y/(x^2)]*[2/(y^2)]+[3*(z^2)*(y^2)/(x^2)]*[3*sqrt(3)/(2*sqrt(2)*(z^2))]=
12*(z^3)*(y^2)/(x^5)-4*(z^3)/((x^2)*y)+9*sqrt(3)*(y^2)/(2*sqrt(2)*(x^2))
подставим в полученное выражение значение в т. М, получим
(grad(u),grad(v))(M)=(9*sqrt(6)+1)/4
Ответ: cos(a)=(9*sqrt(6)+1)/(sqrt(11)*sqrt(67))
Странный, однако, ответ. Обычно даются задачи с красивыми ответами. Может я где ошибся.
Общую формулу для нахождения я написал. Попробуй проверить ещё раз сам, на всякий случай.
Удачи!
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 15:13 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.516
Найти векторные линии в векторном поле a
a=yj+4zk
Отправлен: 07.06.2006, 14:09
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Запишем дифференциальные уравнения векторных линий поля a
dx/0=dy/y=dz/(4z)
получаем следующую систему
dx=0 => x=C0
dy/y=dz/(4z) => 4ln(y)=ln(z)+ln(C) => y^4=z*C
т.о. получаем
x=C0
y^4=z*C - это семейство парабол находящиеся в плоскости x=C0
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 14:35 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.525
Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (наружная нормаль к замкнутой поверхности, которая создана данными поверхностями).
Отправлен: 07.06.2006, 15:27
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Прежде всего заметим, что интересующая нас поверхность это конус, проходящий через начала координат, с осью симметрии - ось z, пересеченная поверхностью z=2, образуя основание конуса в виде окружности
Нормаль к этой поверхности n=(0,0,1)
т.о. (a,n)=(x*y*z)*0-(x^2)*z*0+3k;
П=двойной интеграл по S от (a,n)dS=двойной интеграл по поверхности (x^2+y^2<=2) от 3dS=3*(площадь окружности x^2+y^2<=2)=6*PI
Ответ: П=6*PI
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 16:45 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.527
Найти поток векторного поля а через часть площади S?, которая вырезана площадью Р (нормаль образует острый угол с осью OZ).
a=x*i+y*j+z*k;
P: (2*x)+(y/2)+z=1
Отправлен: 07.06.2006, 15:32
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Плоскость (2*x)+(y/2)+z-1=0 имеет нормаль n=(2,1/2,1) (образует острый угол с осью OZ)
|n|=sqrt(4+1/4+1)=3*sqrt(2)/2
cos(alpha)=2/|n|=4/(3*sqrt(2))
cos(betta)=(1/2)/|n|=1/(3*sqrt(2))
cos(gamma)=1/|n|=2/(3*sqrt(2))
перепишем уравнение плоскости в виде z=1-2*x-y/2
dz/dx=-2; dz/dy=-1/2
найдём элемент поверхности
dS=sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=sqrt(1+4+1/4)dxdy(=3*sqrt(2)/2)dxdy
Поток векторного поля а через площадь S вычисляется по формуле
П=поверхностный интеграл по S от (a,n)dS=пов. инт. по S от (ax*cos(alpha)+ay*cos(betta)+az*cos(gamma))sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=
(заменяем z на 1-2*x-y/2)=
пов. инт. по S от (x*4/(3*sqrt(2))+y/(3*sqrt(2))+(1-2*x-y/2)*2/(3*sqrt(2)))*3*sqrt(2)/2)dxdy
теперь найдём пределы интегрирования по x,y
поочередно подставляем значения (x=0,y=0), (x=0,z=0), (y=0,z=0) в уравнение плоскости, находим точки пересечения плоскости с осями координат - (0,0,1), (1/2,0,0), (0,2,0)
получаем что x принимает значения от 0 до 1/2, y принимает значения от 0 до 2
окончательно получаем
П=интеграл по x (0,1/2) интеграл по y (0,2) от (x*4/(3*sqrt(2))+y/(3*sqrt(2))+(1-2*x-y/2)*2/(3*sqrt(2)))*3*sqrt(2)/2)dxdy=
интеграл по x (0,1/2) интеграл по y (0,2) от (2/(3*sqrt(2)))*3*sqrt(2)/2)dxdy=интеграл по x (0,1/2) интеграл по y (0,2) от dxdy=(1/2-0)*(2-0)=1
Ответ: П=1
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 17:49 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.540
Найти поток векторного поля а через часть площади P, которая лежит в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).
a=PI*y*j+(1-2*z)*k;
P: (x/4)+(y/3)+z=1
Отправлен: 07.06.2006, 18:38
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Плоскость (x/4)+(y/3)+z=1 имеет нормаль n=(1/4,1/3,1) (образует острый угол с осью OZ)
|n|=sqrt(1/16+1/9+1)=13/12
cos(alpha)=(1/4)/|n|=3/13
cos(betta)=(1/3)/|n|=4/13
cos(gamma)=1/|n|=12/13
перепишем уравнение плоскости в виде z=1-(x/4)-(y/3)
dz/dx=-1/4; dz/dy=-1/3
найдём элемент поверхности
dS=sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=sqrt(1+1/16+1/9)dxdy=(13/12)dxdy
Поток векторного поля а через площадь S вычисляется по формуле
П=поверхностный интеграл по S от (a,n)dS=пов. инт. по S от (ax*cos(alpha)+ay*cos(betta)+az*cos(gamma))sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy=
(заменяем z на 1-(x/4)-(y/3))=
пов. инт. по S от (0*3/13+PI*y*4/13+(1-2*(1-(x/4)-(y/3))*12/13)*(13/12)dxdy
теперь найдём пределы интегрирования по x,y
поочередно подставляем значения (x=0,y=0), (x=0,z=0), (y=0,z=0) в уравнение плоскости, находим точки пересечения плоскости с осями координат - (0,0,1), (4,0,0), (0,3,0)
получаем что x принимает значения от 0 до 4, y принимает значения от 0 до 3
окончательно получаем
П=интеграл по x (0,4) интеграл по y (0,3) от (0*3/13+PI*y*4/13+(1-2*(1-(x/4)-(y/3))*12/13)*(13/12)dxdy
Дальше попробуй сам.
Задача аналогична предыдущей.
Удачи!
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 19:00 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.542
Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная)
Отправлен: 07.06.2006, 18:43
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Не могу я больше набирать здесь формулы :)
Решение можете забрать здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/45542.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 14:24 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.543
Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль наружная)
a=y*i+5*y*j+z*k;
S: (система) [(x^2)+(y^2)=1] и [z=x, z=0(z>=0)]
Отправлен: 07.06.2006, 18:46
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Советую решить эту задачу по аналогии с предыдущими. если не получится, решение можно найти здесь http://gitter.narod.ru/RusFAQ/45543.rar
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 14:20 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 45.549
Найти поток векторного поля а всквозь замкнутую поверхность S (нормаль внешняя)
a=(x^2)i+(y^2)j+2zk
S: (система) [(x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2]
Отправлен: 07.06.2006, 19:06
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Похоже, идёт сезон на векторный анализ.
Предыдущие две задачи автора были очень похожи, но эту задачу придётся решать воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского (т.к. требуется найти поток через всю замкнутую поверхность)
П=тройной интеграл по объёму цилиндра ((x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2) от div(a) dxdydz
div(a)=da/dx+da/dy+da/dz=2*x+2*y+2
т.о. П=интеграл по ((x^2)+(y^2)=1/4 и z=0, z=2) от 2*(x+y+1)dxdydz=(делаем замену x=r*cos(phi); y=r*sin(phi))
интеграл по z от 0 до 2 от интеграла по r от 0 до 1/2 от интеграла по phi от 0 до 2*PI от (2*(r*cos(phi)+r*sin(phi)+1))d(phi) rdr dz
далее, разбиваем интеграл на 3 слагаемых, интегрируем и получаем ответ.
PS эти и другие примеры решения задач анализа, можно найти, например, здесь http://dvoika.net/education/kuznecov/index7.shtml
Ответ отправил: gitter (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.06.2006, 01:16 Оценка за ответ: 5
