Вопрос № 44942: Найдите координаты точки пересечения с плоскостью х=1 прямой, перпендикулярной плоскости 4х+2у+4z+5=0 и пересекающей две заданные прямыех+1=у=z и 2ч=2у=z+4....
Вопрос № 44.942
Найдите координаты точки пересечения с плоскостью х=1 прямой, перпендикулярной плоскости 4х+2у+4z+5=0 и пересекающей две заданные прямыех+1=у=z и 2ч=2у=z+4.
Отправлен: 02.06.2006, 06:42
Вопрос задала: лана (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Ayl
Здравствуйте, лана!
Вот набросок решения.
1. Определяем три точки в заданной плоскости, не лежащие на одной прямой - A, B и C. Строим вектора AB и AC. Вычисляем векторное произведение этих векторов. В результате получаем образующий вектор для искомой прямой.
2. Находим плоскость, параллельную этому вектору, и содержащую первую из заданных прямых.
3. Находим точку пересечения этой плоскости и второй прямой.
4. Составляем уравнение прямой по образующему вектору и найденной точке.
5. Находим точку пересечения прямой с плоскостью x=1.
В приложении - решения в числах.
Приложение:
--------- Трудное - то, что можно сделать немедленно. Невозможное - то, для выполнения чего требуется немного больше времени
Ответ отправил: Ayl (статус: Академик) Россия, Санкт-Петербург ICQ: 5163321 ---- Ответ отправлен: 02.06.2006, 13:10 Оценка за ответ: 5
Отвечает: gitter
Здравствуйте, лана!
Искомая прямая имеет вид (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
где (x1,y1,z1) - точка принадлежащая первой прямой (т.е. x1+1=y1=z1), (x2,y2,z2) - точка принадлежащая первой прямой (т.е. 2*x2=2*y2=z2+4)
поскольку искомая прямая перепендикулярна плоскости 4х+2у+4z+5=0 с вектором нормали (4,2,4) то векторное произведение направляющего вектора искомой прямой (т.е. вектор (x2-x1,y2-y1,z2-z1)) и вектора нормали плоскости (4,2,4) должно быть равно нулю, т.е. i(4*(y2-y1)-2*(z2-z1))-j(4*(x2-x1)-4*(z2-z1))+k(2*(x2-x1)-4*(y2-y1))=(0,0,0)
решая систему
(1) 4*(y2-y1)-2*(z2-z1)=0
(2) 4*(x2-x1)-4*(z2-z1)=0
2*(x2-x1)-4*(y2-y1)=0
не забывая что
(3) x1+1=y1=z1 и
(4) 2*x2=2*y2=z2+4
получаем что x1=3, y1=4, z1=4, x2=5, y2=5, z2=6
(распишу подробнее
подставим в уравнение (1) значения выражений для y2, y1 через z1, z2 соответственно, полученные из уравнений (3), (4)
4*(z2/2+2-z1)-2*(z2-z1)=0
подставим в уравнение (2) значения выражений для x2, x1 через z1, z2 соответственно, полученные из уравнений (3), (4)
-4*(z2/2+2-z1+1)+4*(z2-z1)=0
решаем систему
4*(z2/2+2-z1)-2*(z2-z1)=0
-4*(z2/2+2-z1+1)+4*(z2-z1)=0
получаем z1=4, z2=6. Подставим полученные значения z1,z2 в уравнения (3),(4) получим x1=3, y1=4, z1=4, x2=5, y2=5, z2=6
)
таким образом искомое уравнение прямой имеет вид
(x-3)/(5-3)=(y-4)/(5-4)=(z-4)/(6-4) или (x-3)/2=(y-4)/1=(z-4)/2
теперь найдём точку пересечения этой прямой и плоскости x=1
подставим x=1 в уравнение прямой, получим систему
-2/2=(y-4)/1
-2/2=(z-4)/2
решая ее получим, что y=3, z=2
Ответ: искомая точка имеет координаты (1,3,2)
Ответ отправил: gitter (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 02.06.2006, 13:30 Оценка за ответ: 5
