Вопрос № 45431: здравствуйте.
1) нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость:
n-ный член ряда: |arccos(1/n)/n|. У меня выходит так - по прзнаку Даламбера limUn+1/Un=lim |(arccos(1/(n+1))/(n+1))*(n/arccos(1/n))|=1 (?)
n>беск.
О с...Вопрос № 45444: Помогите найти формулу последовательности:
0
15
25
33
38
43
47
51
54
57
60
63
66
69
71
74
76
79
81
84
86
88
90
92
95
97
99
101
103 ...
Вопрос № 45.431
здравствуйте.
1) нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость:
n-ный член ряда: |arccos(1/n)/n|. У меня выходит так - по прзнаку Даламбера limUn+1/Un=lim |(arccos(1/(n+1))/(n+1))*(n/arccos(1/n))|=1 (?)
n>беск.
О сходимости ряда в этом случае ничего сказать нельзя. Как можно это решить?
2)найти суму ряда или д-ть, что он расходиться:
беск.
сумма(1/n(n+1)(n+2))
n=1
Не получается составить формулу суммы.
Отправлен: 06.06.2006, 20:46
Вопрос задал: VVVV (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Устинов Сергей Евгеньевич
Здравствуйте, VVVV!
1) Ну почему же =1? У меня получается =0!
arccos(1/(n+1))/(n+1)) = при n>беск = arccos(0)/(беск)=Pi/(беск*2)=0
n/arccos(1/n))=беск*2/Pi=беск.
Итого 0*беск=0!
2) Писать формулы тут лень, полное решение можешь скачать по этой ссылке:
http://uafaq.narod.ru/v45431.rar
Будет что-то не понятно - обращайся!
Удачи!
--------- Ответы на все вопросы - на сайте www.ya.ru :)
Ответ отправил: Устинов Сергей Евгеньевич (статус: Студент)
Ответ отправлен: 06.06.2006, 23:08 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: И все-таки в первом пределе еденица... Наглядно: lim(n/(n+1))=lim(1-1/(n+1)) при n->беск. 1/(n+1)->0. Остается еденица. За второе задание нельзя не поставить пятерку! Спасибо.
Отвечает: gitter
Здравствуйте, VVVV!
1. Действительно, признак Даламбера дал 1.
Я попробовал ещё признак Раабе
т.е. исследовал следующий предел lim n*(a(n)/a(n+1)-1) при n->беск.
но тоже получил 1
Так что получается, что ничего нельзя сказать о сходимости ряда с членами последовательности |arccos(1/n)/n|
Есть, конечно, ещё более экзотические признаки сходимости, типа признака Куммера , Бертрана и Гаусса (см Фихтенгольца т.2), но, думаю, это не поможет.
Пока писал, вспомнил об интегральном признаке
попробуй найти предел от первообразной фукнции arccos(1/x)/x при x->беск
Навскидку, предел у меня получился - беск. т.е. ряд расходится. Но лучше - перепроверить.
Ответ отправил: gitter (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 01:28 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: b lim (S(arccos(1/x)dx/x)) b->беск. 1 Ты, что такие интегралы в уме берешь? Молодец, 5 баллов!!! :) Спасибо за ответ.
Отвечает: wils0n
Здравствуйте, VVVV!
В решении первого задания предыдущий оратор явно нагнал. Всем известно, что нельзя умножать бесконечность на ноль, так как из этого ничего хорошего не может выйти.
Итак, первое задание.
Здесь не нужен признак Даламбера, нужен оценочный признак. Заметим, что arccos(1/n) монотонно возрастает при n -> беск. и ограничена сверху значением arccos(0) = Pi/2. Далее можно показать, что уже при всех, начиная с n=3, arccos(1/n)>1. Таким образом, можно сделать справедливую оценку:
Sum_{n=3...беск} (arccos(1/n)/n) > Sum_{n=3...беск}(1/n)
А ряд Sum_{n=3...беск}(1/n) как известно является расходящимся. Таким образом наш ряд тоже расходится, так как начиная с некоторого n0, в нашем случае n0=3, наш ряд больше гармонического ряда.
Воторое задание на всякий случай тоже напишу. Только в отдельном файле, так как пальцы сломать можно, если формулы начать выводить. См. здесь:
http://mathe.sbn.bz/45431.pdf
ЗЫ: Первое задание, кстати, тоже там есть.
--------- Life is like a box with chocolate. You never know what you're gonna get. (c) Forrest Gump's mom
Ответ отправил: wils0n (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.06.2006, 01:57 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Хороший наглядный ответ. Спасибо.
